Continuidad

Cap´tulo 5 ı

Continuidad
5.1 Continuidad en un punto
Definici´ n 5.1.1 (Aplicaci´ n continua en un punto). Sean (X, τ ) e (Y, τ ) dos espacios topol´ gicos, o o o y sea f : X −→ Y una aplicaci´ n entre ellos. Diremos que f es continua en un punto a ∈ X si o para todo U ∈ E(f (a)) existe un V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ U . Proposici´ n 5.1.2 (Continuidad y base de entornos). Sean (X, τX ), (Y, τY) dos espacios topol´ gicos, o o f : X −→ Y una aplicaci´ n y B(a) y B(f (a)) son bases de entornos de a en τX y de f (a) en τY , o respectivamente. Entonces f es continua en a si y s´ lo si para todo U ∈ B(f (a)) existe V ∈ B(a) o tal que f (V ) ⊂ U . Demostraci´ n. o ⇒ Supongamos que f es continua en a. Dado U ∈ B(f (a)) existir´ V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ a U . Pero como B(a) es base deentornos tendremos que existe V ∈ B(a) de modo que V ⊂ V , con lo que f (V ) ⊂ f (V ) ⊂ U . ⇐ Sea ahora U ∈ E(f (a)), entonces existe U ∈ B(f (a)) de modo que U ⊂ U . Por hip´ tesis o existe V ∈ B(a) de modo que f (V ) ⊂ U ⊂ U y como V ∈ B(a) ⊂ E(a). Corolario 5.1.3 (Continuidad en un espacio m´ trico). Sean dos espacios m´ tricos (X, d) e e e (Y, d ), una aplicaci´ n f : X −→ Y , y un punto a ∈ X.Entonces f es continua en a si o y s´ lo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que siempre que d(x, a) < δ se verifica que o d (f (x), f (a)) < ε. Demostraci´ n. S´ lo hay que tener en cuenta que las bolas abiertas son base de entornos en una o o topolog´a m´ trica. ı e 45

46 Ejemplo 5.1.4.

´ CAPITULO 5. CONTINUIDAD

(1)La continuidad en R, con la topolog´a usual, coincide con el conceptohabitual de continuidad ı utilizado en An´ lisis. En particular se tiene la siguiente lista de funciones continuas de R en R: a (a) las funciones constantes (b) la funci´ n identidad o (c) las funciones elementales xa , sen(x), cos(x), ex y sus inversas en sus dominios de definici´ n. o (d) la suma y el producto de funciones continuas. (e) la inversa para el producto de una funci´ n continua no nula. o(2)En Rn con la topolog´a usual (d = d2 o d1 o d∞ ), podemos hacer algo similar: f : Rn −→ Rn ı es continua en a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn si y s´ lo si o para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < ε (3) Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d} con la topolog´a τ = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}. ı La funci´ n f : X −→ X, definida por el diagrama siguiente, escontinua en d y no lo es en c. o a b c d a
z : b : c jd

Proposici´ n 5.1.5 (Continuidad y sucesiones). Sean dos espacios m´ tricos (X, d) e (Y, d ), f : o e X −→ Y una aplicaci´ n entre ellos, y a ∈ X. Entonces son equivalentes: o (a) f es continua en a. (b) Si (xn )∞ es una sucesi´ n en X con l´mite a, entonces {f (xn )}∞ converge a f (a). o ı n=1 n=1 Demostraci´ n. o (a)⇒(b) Supongamos que f escontinua en a ∈ X y que (xn )n → a. para ver que (f (xn ))n → f (a) tenemos que probar que dado ε > 0, existe no tal que n > no ⇒ d (f (xn ), f (a)) < ε

5.1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Como f es continua en a, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d (f (x), f (a)) < ε Por otra parte, como (xn )n → a, dado δ > 0, existe no tal que n > no ⇒ d(xn , a) < δ Por tanto, si n > no , d (f (xn ), f(a) < ε puesto que d(xn , a) < δ. b)⇒a)

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Supongamos que (f (xn ))n converge a f (a) y supongamos que f no es continua. Eso significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe xδ ∈ X con d(xδ , a) < δ y d (f (xδ ), f (a) ≥ ε. Si para este ε fijo, tomamos δ = 1 existe x1 con d(x1 , a) < 1 y d (f (x1 ), f (a)) > ε δ= As´ sucesivamente para ı δ= 1 1 existe xn con d(xn , a) < y d (f (x1 ),f (a)) > ε n n 1 1 existe x2 con d(x2 , a) < y d (f (x1 ), f (a)) > ε 2 2

De modo que hemos obtenido una sucesi´ n (xn )n en X que converge hacia a puesto que la o sucesi´ n de t´ rminos positivos (d(xn , a))n es menor t´ rmino a t´ rmino que la sucesi´ n ( n )n ; y, sin o e e e o 1 embargo, la sucesi´ n (f (xn ))n no converge a f (a) ya que siempre es d (f (xn ), f (a)) > ε. o Ejemplo...