continuidad

























Contenido
Contenido 4
1.Continuidad en un punto. Continuidad lateral. 4
3. Continuidad en un intervalo. 8
4. Operaciones con funciones continuas. Propiedades. 9
4.1. Demostración: 9
4.1.a) La función constante f(x) = k es continua en R. 9
4.1.b) La función identidad f(x) = x es continua en . 10
4.1.c) La función potencial , escontinua en . 10
4.1.d) La función poli nómica , es una función continua en . 10
4.1.e) La función racional es continua en todo su dominio, es decir, en todo menos en aquellos valores que anulen el denominador. 10
5. Propiedades de las funciones continuas. 10
5.1. Teorema de acotación. 11
5.2. Teorema del signo. 11
6. Discontinuidades. Tipos. 11
6.1. Discontinuidad evitable. 12
6.2.Discontinuidad de salto finito. 13
6.3. Discontinuidad esencial 15
11.a) Estudiar la continuidad de la función en los puntos x =2 y x = 5. 19




















continuidad de funciones
Teoremas sobre funciones continuas


1. Continuidad en un punto. Continuidad lateral.

La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas unapropiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor. Intuitivamente esto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma.
Intuitivamente, una función es continua si sugráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Los puntos en que haya que levantar el lápiz se llaman puntos de discontinuidad.



En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x0. ( en este caso, para x0=2)

En la primera figura la función no es continua porque desde los dos lados no vamos hacia el mismo punto, es decir, noexiste .
En la segunda figura sí van hacia el mismo sitio, pero falta (no existe) el punto de unión entre los dos trozos o ramas, que sería f(x0).

En la tercera existe ese punto de unión f(x0) pero no está colocado en el sitio adecuado:

Y por último, en la cuarta figura todo está bien y la función es continua.

A la vista de esto podemos dar la definición formal de función continua enun punto.
Así, diremos que una función f(x) es continua en un punto x0 si cumple las tres condiciones siguientes:

Nota: Existen otras formas equivalentes de dar la definición.

Por ejemplo: una función f(x) es continua en un punto asi:

1. Existe el límite de la función f(x) en x = a.
2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)
3. Los dos valores anteriorescoinciden.

O también, Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir:


Ejemplos:
La función ¿es continua en el punto x = 3?

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
1.
2.
3.
Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.

Dada la función , estudiar la continuidad de dicha función en x = 1.

Veamos si se cumplen lascondiciones necesarias:
1.
2. no existe, pues se anula el denominador.
3. El no son iguales porque f (1) no existe y, en consecuencia, no se pueden comparar.

Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho punto.

Dada la función , estudiar la continuidad de dicha función en x = 1
Seguiremos el mismo proceso que en losejemplos anteriores:
1. Estudiamos la existencia del
Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:


En consecuencia, existe pues los límites laterales son iguales.

2. f (1) = 2
3.

Luego la función es discontinua en el...