Continuidad

FACULTAD DE INGENIERÍA
Escuela de Ingeniería Industrial
Matemática II
Continuidad de una función
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
1. IDEA INTUITIVA DE CONTINUIDAD
Intuitivamente diremosque una función 𝑓 es continua en su dominio, si su gráfica no presenta
rupturas a lo largo de su dominio.
2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La función 𝑓 es continua en 𝑥0 ∈ 𝐷 𝑓si y solo si, se cumple las siguientes condiciones:
i)

Existe 𝑓(𝑥0 )

ii) Existe lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0

[ es decir: lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) ]
𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

iii) lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥03. PROPIEDADES DE CONTINUIDAD
a) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en 𝑥0 , entonces 𝑘𝑓, 𝑓 ± 𝑔, 𝑓 ⋅ 𝑔, 𝑓/𝑔, 𝑔 ≠ 0 son
continuas en 𝑥0
b) Las funciones polinomiales, racionales,trigonométricas y raíz n-esima, son continuas en
su dominio de definición.
c) Si 𝑓 es continua en L y lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 entonces
𝑥→𝑥0

lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ( lim 𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿)
𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

4.DISCONTINUIDAD
Una función es discontinua cuando al menos una de las condiciones de continuidad no se
cumple.
5. TIPOS DE DISCONTINUIDAD
a) Discontinuidad Evitable o Removible
Lafunción 𝑓 tiene una discontinuidad evitable o removible en 𝑥0 sí:
i)

𝑥0 ∉ 𝐷 𝑓 y existe el número lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0

ii) 𝑥0 ∈ 𝐷 𝑓 y lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0

y

y

f

f

x

x

𝑥0∉ 𝐷 𝑓

Lic. Elvis Soto Apolitano

𝑥0 ∈ 𝐷 𝑓

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Matemática II

Continuidad de una función

b) Discontinuidad No Evitable o Irremovible
La función 𝑓 tiene una discontinuidadno evitable o irremovible en 𝑥0 de:
i) Discontinuidad de Primera Especie
Si existen los límites laterales son diferentes ( lim− 𝑓(𝑥) ≠ lim+ 𝑓(𝑥) ) y finitos.
𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

y

f𝑓(𝑥0 )

x

𝑥0

ii) Discontinuidad de Segunda Especie
Si no existe lim 𝑓(𝑥) o si uno de los límites laterales es ±∞.
𝑥→𝑥0

y

x

𝑥0

Lic. Elvis Soto Apolitano

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