Continuidad

D
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Maatteem
mááttiiccaass
22ºº B
Baacchhiilllleerraattoo
CONTINUIDAD

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1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones clasificando sus puntos de
discontinuidad:
a) f ( x) =

x +1
x −1

b) f ( x) =

x−2
x2 − 4

c) f ( x) =

1
2
x +1

x −1

d) f ( x) = e x

2

−3 x + 2

Sol.
a) x=1 D No evitable salto infinito
b) x=2 D Evitable; x= -2 D. No evitablesalto infinito
c) Continua en ℜ
d) x=1 D. Evitable; x=2 D. No evitable salto infinito
2. Estudiar la continuidad de las funciones clasificando sus puntos de discontinuidad:
x<0
 x
2 x x < 0

b) f ( x) =  2
0≤ x<3
a) f ( x) = 
0 x>0
x − 3
x≥3

c)

2 x 2
f ( x) = 
 3

Sol.
a)
b)
c)
d)

x≠0
x=0

d)

 x2 − 4

f ( x) =  x − 2
 4

x≠2
x=2

x=0 D. Evitable.
x=0 D. No evitable salto finito;x=3 D. No evitable salto finito.
x=0 D. Evitable.
Continua en ℜ.

3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones clasificando sus puntos de
discontinuidad
4 x
e 2 x
x <1
x <1
 ( x + 1)

1≤ x ≤ 2
a) f ( x) = 3 x
1≤ x ≤ 2
b) f ( x) =  x 2 + 2
x + 4 x > 2
5 x − 4
x>2


Sol.
a) x=0 D No evitable salto infinito; x=1 D. No evitable salto finito; x=2 Continua.
b) x=-1 D. No evitablesalto infinito; x=1 D. No evitable salto finito; x=2 Continua
4. Calcular el valor de a sabiendo que f (x) es una función continua en x=1; siendo
x + 3 x ≤ 1
f ( x) = 
.
 ax x > 1
Sol. a=4
5. Encontrar el valor que hay que darle a m para que f (x) sea una función continua
 x 2 − 4x + 3

f ( x) =  x − 1

m
Sol. m= – 2

x ≠1
x =1

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cos 2 x x < 0
6. Estudiar el valor de k para que la función f ( x) = 
sea continua.
x
x≥0
 k ⋅e
Sol. k= 1
si
x ≤ −1
 0
 3
7. Dada la función f definida por f ( x ) = ax + bx si − 1 < x < 2 . Se pide hallar a y b para
11x − 16 si
x≥2

que la función sea continua en todo x real.
Sol. a= 1; b= – 1
x2 − 4
8. Halla el valor de c para el cual lafunción f ( x ) = 2
tiene un punto de
x + cx − 6
discontinuidad evitable en x = –2. ¿Qué otros puntos de discontinuidad presenta esta
función?
Sol. c= –1. En x=3 D. No evitable salto infinito
x +1 − x
no está definida para x = 0 . Definir f (0) de modo que sea
x
una función continua.
Sol. No existe ningún valor de f (0) que haga la función continua

9. La función f ( x ) =

x +1 −1
no está definidapara x = 0 . Definir f (0) de modo que sea
x
una función continua.
1
Sol. f (0 ) =
2
11. Determina los valores de ay b para que la función siguiente resulte continua en todos los
puntos:
 2
x<0
ax + b si
f ( x) =  x − a si 0 ≤ x < 1
 a + b si
x ≥1
 x
Sol. a= 1; b= – 1
12. Estudia las siguientes funciones como funciones definidas a trozos y estudia su continuidad
y su límite en lim f ( x )lim f ( x )

10. La función f ( x ) =

x → +∞

a)

f (x ) =

2+ x
2 + x +1

x → −∞

;

b)

f (x ) =

x2
2 x + 2x − 4

c) f ( x) = x + 2 − x

Sol.

a)

 2 − x si
x < −1
1 − x
 2 − x
f ( x) = 
si − 1 ≤ x ≤ 0 . Continua en ℜ.
3 + x
 2 + x si
x >1
 3 + x

 lim f (x ) = 1
x → +∞
 lim f (x ) = 1
 x →−∞

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 − x2
si x < 0

 lim f ( x ) = +∞
b) f ( x ) =  42
. x=1. D. No evitable salto infinito.  x→ +∞
f ( x ) = −∞
 xlim
 x
→ −∞
si x ≥ 0
 4 x − 4
 lim f ( x ) = 2
− 2 x − 2 si x < −2
c) f ( x ) = 
. Continua en ℜ.  x→ +∞
f ( x ) = +∞
si x ≥ 2
 2
 xlim
→ −∞

x<0
 cos x si
2
si 0 ≤ x ≤ 1 . Calcular los valores de a y b para que la
13. Dada la función f ( x) =a + x
 b
si
x >1
 x
función f(x) sea continua en ℜ.
Sol. a= 1; b= 2
14. Probar que las gráficas de las funciones f ( x ) = ln x y g ( x ) = e − x se cortan en algún punto.
Sol. Se comprueban las condiciones de Tª de Bolzano para la función h( x ) = ln x − e − x ,por
ejemplo, en el intervalo [1, 2] .
15. Demuestra que el polinomio p( x ) = x 3 + x − 1 tiene al menos una raíz positiva. Halla...