Continuidad

Matemáticas Bachillerato

Continuidad

CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1. Definición de continuidad en un punto
Definición: Una función f se dice continua en un punto de abscisa a (o sea, en x = a) si
lím f ( x)  f (a) . Esto es equivalente a que ocurran las tres condiciones siguientes:
x a

1) f (a)
2) lím f (x)
xa

3) Ambos valores coinciden
2. Clasificación de las discontinuidades
Si fallaalguna de las tres condiciones, la función no será continua en x = a; se dice que
presenta una discontinuidad en dicho punto. Según la condición que falle, clasificamos
las discontinuidades en diferentes tipos. Veamos los casos que se pueden presentar:
La función es continua en a, porque:
1) f (a)
2 y 3) lím f (x) =f(a): si tomásemos cualquier sucesión de va-

f(a)

xa

a

lores de x que tienda a a,las imágenes correspondientes se
acercan infinitamente al valor f(a)

Discontinuidades:
a) Evitable: Falla la condición 1 ó la 3, pero no la 2. Puede ser porque / f(a) pero sí
el límite L como en el prif(a)
mer dibujo (falla la 1 pero
no la 2), o bien porque
L
L
existe el límite L pero no
coincide con f(a), como en
el segundo gráfico (falla la
a
a
3 pero no la 2).
Este tipo de discontinuidad sellama evitable porque bastaría redefinir la función,
obligando a que la imagen en a valga L. Cualquier otro tipo de discontinuidad se dice inevitable, y será porque falle la condición 2, independientemente de lo que ocurra con la condición 1.
Observar que en todo punto que no pertenezca al dominio la función es discontinua,
porque no cumplirá, al menos, la condición 1. Aunque para clasificar dichadiscontinuidad como evitable hay que comprobar que, además, no falle la condición 2 de
continuidad, es decir, que exista lím f (x) .
x a

Veamos los distintos casos de discontinuidades inevitables:
b) Discontinuidad de salto finito o de primera especie: / lím f (x) pero existen los
xa

L2
L1

dos límites laterales y son finitos, aunque no coinciden. En el gráfico, L1= lím f (x) y L2= lím f(x) . En
x a

x a

este ejemplo, f (a) =L2. Pero también sería posible
que coincidiera con L1, o que / f(a) (en cuyo caso, fallaría también la condición 1), y seguiría siendo disa
continuidad de salto finito. Lo que no sería posible es
que a tuviera dos imágenes (en una función, cada valor de x tiene, como máximo, una sola imagen).

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c) Discontinuidad asintótica: El límite es infinito: lím f (x) = (como  no es un
xa

número, decimos que no existe; por tanto, aquí también falla la condición 2 de
continuidad), o bien, alguno de los dos límites laterales en a es infinito. Se llama así porque en x = a la función tiene una asíntota vertical1. Pueden ocurrir tressituaciones:

a

a

a

a

L
L
a

a

Los dos límites laterales
coinciden en valer + o –
: La discontinuidad es,
simplemente, asintótica
(muchos autores también
la clasifican como asintótica de salto infinito).

Uno de los límites laterales vale + y el otro, –.
La discontinuidad se dice
asintótica de salto infinito.

Uno de los límites laterales es finito, y el otro, .
(En este caso, el límitecompleto no da ningún
resultado). También se
trata de una discontinuidad asintótica de salto
infinito.

d) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Falla la condición 2: / lím f (x) ,
xa

pero no se encuadra en los casos anteriores (b ó c). Por ejemplo, la función
1
y  sen tiene una discontinuidad
x
esencial en x=0, porque no existe
1
lím sen
(no da ningún resultado,
x 0
x
puesto que lasimágenes oscilan entre –1 y +1 constantemente):
La nomenclatura de las discontinuida1

Una recta vertical es una asíntota vertical cuando la curva se aproxima a la recta, más cuanto más acerquemos los valores de x hacia a. La asíntota y la curva no se cortan, salvo en el infinito, si pudiésemos
alcanzarlo.

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