Continuidad

5. Continuidad.

5.1 Introducción

En las Ciencias Naturales y en particular en la Física cuando observamos los ambientes o alrededores en que se desarrollan los fenómenos llegamos a la percepción de un medio físico que puede ser sólido, líquido o gaseoso, a las que denominamos fases. Es bien conocido ahora que estos medios físicos son en realidad una acumulación de un gran número departículas en movimiento; pero esta partículas y las distancias que las separan son tan pequeñas comparadas con las dimensiones del medio en el cual ocurre el fenómeno, que consideramos al medio sin fracturas o intersticios y distribuido sobre todo el espacio ocupado; decimos entonces que tenemos un medio continuo. Las ciencias físicas macroscópicas y diversas reas de ingeniera que en ellas tienen susbases teórico﷓prácticas, se fundamentan en esta abstracción y el concepto matemático de continuidad tiene un papel central en estas ciencias y también en muchas otras.

Desde el punto de vista puramente matemático, el concepto de continuidad es uno de los más importantes en el análisis de funciones reales de variable real.

En el capítulo 2 se estudió la importancia que tiene el Axiomadel Supremo en la estructura del sistema de los números reales R; así, por ejemplo, se demostró la existencia de los números irracionales como \/2; en el capítulo 3 se definió el concepto de función y las operaciones entre funciones y en el capítulo 4 se definió el concepto de límite y los procedimientos para hacer cálculos de límites de funciones. En este capítulo pretendemos establecerpropiedades de las funciones continuas y algunas de sus consecuencias más inmediatas utilizando los conceptos mencionados en los capítulos respectivos. En la mayoría de las demostraciones de las propiedades de las funciones continuas se utiliza el Axioma del Supremo.

En el capítulo anterior al estudiar cualitativamente el concepto de límite, se recurrió a la gráfica de la función que se analizaba.Pudimos observar que en los puntos donde la función no estaba definida ‘o el límite no exista; la gráfica de la función se “cortaba”, sucediendo lo que se menciona en el primer párrafo.

Nuestra idea intuitiva de una función continua es que su gráfica se puede trazar sin dichos “cortes”. Esto nos indica que la definición formal de continuidad debe subsanar los dos aspectos que mencionaron.Como la definición de continuidad está íntimamente relacionada con la de límite, las ideas del capítulo 4 serán de gran utilidad en el desarrollo del presente tema.

5.2 Continuidad en un punto

En el capítulo 4 se estudio con detalle la idea intuitiva del concepto del límite de una función y su definición formal se estableció de manera que se correspondieran; así es como seformalizó la idea de si la variable x está suficientemente cerca de xo entonces su imagen f(x) está arbitrariamente cerca de L y se representó por

lim f(x) = L

x﷓>xo

Pero se hizo énfasis en que dicha definición se referían aquellos puntos xxo y que no era necesario que la función estuviese definida en el punto xo. Ahora bien, en el caso de que el punto xo pertenezca al dominiode la función y además ocurra que f(xo)=L, entonces decimos que la función es continua en dicho punto.

Definición 5.1 Continuidad en un punto.

Una función es continua en un punto xo en Domf si

lim f(x) = f(xo).

x﷓>xo

Observemos que en esta definición se requiere que se cumplan las siguientes condiciones:

a) f(xo) esté definido,

b) lim f(x)exista,

x﷓>xo

c) lim f(x) = f(xo).

x﷓>xo

Como veremos en algunos de los ejemplos de esta sección, en ..cambiar cada una por alguna

el caso de que no se satisfaga cada una de dichas condiciones tendremos que la función no es continua en el punto en cuestión.

Vemos, además, que la definición de continuidad en un punto involucra el concepto de...