Continuidaddos
Funciones de varias variables
Problema 1 Sea f : IR2 −→ IR definida por:
2
2
x −y
x+y
e
−1
f (x, y) =
2x
x > −y,
x ≤ −y.
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f (x, 1). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en su
caso, calcular g .
•
Solución:
(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = −y} por ser composición de funcioneselementales. Falta examinar que ocurre en puntos de la recta x = −y, es decir, (a, −a), a ∈ IR.
Para el cálculo de
l´ım
f (x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
(x,y)→(a,−a)
está definida a trozos.
l´ım
(x,y)→(a,−a)
x>−y
l´ım
x2 − y 2
=
ex+y − 1
l´ım
(x − y)
(x,y)→(a,−a)
x>−y
(x + y)
= 2a
ex+y − 1
2x = 2a.
(x,y)→(a,−a)
x≤−y
Por tanto, el límite existe y vale 2a = f (a,−a), es decir, f es continua en estos puntos.
(ii) La función g está definida como
x2 − 1
ex+1 − 1
g(x) = f (x, 1) =
2x
1
x > −1,
x ≤ −1.
2
Problemas
Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR − {−1}
por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar qué
ocurre con x = −1. Procedemos mediante la definiciónde derivada.
l´ım
x→−1
g(x) − g(−1)
= ...
x+1
Para calcular este límite tenemos que calcular los límites laterales.
• l´ım +
x2 − 1
+2
x2 − 3 + 2ex+1
2x + 2ex+1
−1
= l´ım
=
l´
ım
x→−1+ (ex+1 − 1)(x + 1)
x→−1+ ex+1 (x + 1) + (ex+1 − 1)
x+1
ex+1
x→−1
=
• l´ım
x→−1−
l´ım
x→−1+
2 + 2ex+1
=2
ex+1 (x + 1) + 2ex+1
2x + 2
= l´ım 2 = 2.
x+1
x→−1−
En los cálculos anteriores se ha aplicado laregla de L’Hopital.
Por tanto g es derivable en x = −1. Para finalizar calculamos g .
x+1
(2x − x2 + 1) − 2x
e
(ex+1 − 1)2
g (x) =
2
x > −1,
x ≤ −1.
Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:
1
2
x cos
+y
x = 0,
f (x, y) =
x
y
x = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (0, y)} por ser producto, cociente, suma y
composiciónde funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (0, b) con b ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
l´ım
(x,y)→(0,b)
x2 cos
1
x
+ y = [0 × acotada ] = b = f (0, b).
Por tanto, f también es continua en los puntos (0, b).
Varias variables
3
Problema 3 Estudiar dela continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:
1
2
y = 0,
y sin( ) + x
f (x, y) =
y
x
y = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, 0)} por ser producto, cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (a, 0) con a ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en unentorno de estos puntos la función cambia de definición.
y 2 sin
l´ım
(x,y)→(a,0)
1
y
+ x = [0 × acotada ] = a = f (a, 0).
Por tanto, f también es continua en los puntos (a, 0).
Problema 4 Sea f : IR2 −→ IR definida por:
exy − 1 2
1+
(x + y 2 )
xy
(1 + y 2 )1/|y|
f (x, y) =
(1 + x2 )1/|x|
1
1
x2
+ y2
xy = 0,
x = 0 e y = 0,
y = 0 y x = 0,
(x, y) =(0, 0).
(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
|x|
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f ( √12 x, √12 x)
. Analizar la derivabilidad de g y, en
su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto x = 0.
•
Solución: (i) f es continua en IR2 −{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición de funciones
elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas x = 0, es decir,(0, a), a ∈ IR e
y = 0, es decir, (b, 0), b ∈ IR; y el límite en el punto (0, 0).
l´ım
Para el cálculo de
f (x, y), a = 0 tenemos que distinguir dos regiones, ya que la
(x,y)→(0,a)
función está definida a trozos.
1
l´ım
(x,y)→(0,a)
x=0
l´ım
(x,y)→(0,a)
x=0
exy − 1 2
1+
(x + y 2 )
xy
x2 + y 2 =∗ (1 + a2 )1/|a|
(1 + y 2 )1/|y| = (1 + a2 )1/|a|
4
Problemas
Para ∗ utilizamos el...
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