continuidades y limites

Capítulo 1

Funciones de varias variables
Problema 1 Sea f : IR2 −→ IR definida por:
 2
2
 x −y
x+y − 1
e
f (x, y) =

2x

x > −y,
x ≤ −y.

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f (x, 1). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en su
caso, calcular g .
•
Solución:
(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = −y} por sercomposición de funciones elementales. Falta examinar que ocurre en puntos de la recta x = −y, es decir, (a, −a), a ∈ IR.
Para el cálculo de
l´
ım
f (x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
(x,y)→(a,−a)

está definida a trozos.
l´
ım
(x,y)→(a,−a)
x>−y

l´
ım

x2 − y 2
=
ex+y − 1

l´
ım

(x − y)

(x,y)→(a,−a)
x>−y

(x + y)
= 2a
ex+y − 1

2x = 2a.(x,y)→(a,−a)
x≤−y

Por tanto, el límite existe y vale 2a = f (a, −a), es decir, f es continua en estos puntos.
(ii) La función g está definida como
x2 − 1
ex+1 − 1
g(x) = f (x, 1) =

2x



1

x > −1,
x ≤ −1.

2

Problemas

Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR − {−1}
por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólofalta por analizar qué
ocurre con x = −1. Procedemos mediante la definición de derivada.
l´
ım

x→−1

g(x) − g(−1)
= ...
x+1

Para calcular este límite tenemos que calcular los límites laterales.

• l´ +
ım

x2 − 1
+2
x2 − 3 + 2ex+1
2x + 2ex+1
−1
= l´
ım
= l´
ım x+1
(x + 1) + (ex+1 − 1)
x→−1+ (ex+1 − 1)(x + 1)
x→−1+ e
x+1

ex+1

x→−1

=
• l´
ım

x→−1−

l´
ımx→−1+

2 + 2ex+1
=2
ex+1 (x + 1) + 2ex+1

2x + 2
= l´
ım 2 = 2.
x+1
x→−1−

En los cálculos anteriores se ha aplicado la regla de L’Hopital.
Por tanto g es derivable en x = −1. Para finalizar calculamos g .
 x+1
(2x − x2 + 1) − 2x
 e
(ex+1 − 1)2
g (x) =

2

x > −1,
x ≤ −1.

Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

1
 2
x cos+y
x = 0,
f (x, y) =
x

y
x = 0.
•

Solución:
La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (0, y)} por ser producto, cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (0, b) con b ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
l´ım
(x,y)→(0,b)

x2 cos

1
x

+ y = [0 × acotada ] = b = f (0, b).

Por tanto, f también es continua en los puntos (0, b).

Varias variables

3

Problema 3 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

1
 2
y = 0,
y sin( ) + x
f (x, y) =
y
 x
y = 0.
•
Solución:
La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, 0)} por ser producto,cociente, suma y
composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar
los puntos de la forma (a, 0) con a ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un
entorno de estos puntos la función cambia de definición.
y 2 sin

l´
ım
(x,y)→(a,0)

1
y

+ x = [0 × acotada ] = a = f (a, 0).

Por tanto, f también es continua en los puntos (a, 0).Problema 4 Sea f : IR2 −→ IR definida por:



xy


 1 + e − 1 (x2 + y 2 )



xy


2 1/|y|
(1 + y )
f (x, y) =



 (1 + x2 )1/|x|






1

1
x2

+ y2

xy = 0,
x = 0 e y = 0,
y = 0 y x = 0,
(x, y) = (0, 0).

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
|x|

1
1
(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f ( √2 x, √2 x)
. Analizar la derivabilidad deg y, en
su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto x = 0.

•
Solución: (i) f es continua en IR2 −{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición de funciones
elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas x = 0, es decir, (0, a), a ∈ IR e
y = 0, es decir, (b, 0), b ∈ IR; y el límite en el punto (0, 0).
l´
ım

Para el cálculo de

f (x, y), a =...