Contol de calidad

CHI-CUADRADO DE AJUSTE
 En una prueba de ajuste la hipótesis nula establece que una variable X tiene una cierta distribución de probabilidad con unos determinados valores de los parámetros. El tipo de distribución se determina, según los casos, en función de: La propia definición de la variable, consideraciones teóricas al margen de esta y/o evidencia aportada por datos anteriores al experimentoactual.
A menudo, la propia definición del tipo de variable lleva implícitos los valores de sus parámetros o de parte de ellos; si esto no fuera así dichos parámetros se estimarán a partir de la muestra de valores de la variable que utilizaremos para realizar la prueba de ajuste.
Como en casos anteriores, empezaremos definiendo las hipótesis.
 Hipótesis nula: X tiene distribución deprobabilidad f(x) con parámetros y1,..., yp
Hipótesis alternativa: X tiene cualquier otra distribución de probabilidad.
 Es importante destacar que el rechazo de la hipótesis nula no implica que sean falsos todos sus aspectos sino únicamente el conjunto de ellos; por ejemplo, podría ocurrir que el tipo de distribución fuera correcto pero que nos hubiésemos equivocado en los valores de los parámetros.Obviamente, necesitaremos una muestra de valores de la variable X. Si la variable es discreta y tiene pocos valores posible estimaremos las probabilidades de dichos valores mediante sus frecuencias muestrales; si la variable es continua o si es una discreta con muchos o infinitos valores estimaremos probabilidades de grupos de valores (intervalos).
Metodológicamente, la prueba se basa en lacomparación entre la serie de frecuencias absolutas observadas empíricamente para los valores de la variable (Oi) y las correspondientes frecuencias absolutas teóricas obtenidas en base a la función de probabilidad supuesta en la hipótesis nula (Ei).
Así pues, una vez calculadas las frecuencias absolutas de cada valor o intervalo de valores, obtendremos el número total de observaciones de la muestra (T)sumando las frecuencias observadas

 

Para calcular las frecuencias esperadas repartiremos este número total de observaciones (T) en partes proporcionales a la probabilidad de cada suceso o grupo de sucesos. Para ello calcularemos dichas probabilidades utilizando la función de probabilidad definida en la hipótesis nula f(x), de modo que, cada valor Ei tendrá la siguiente expresión:

Portanto, tendremos los siguientes datos para la prueba:
 

Si la hipótesis nula es cierta, las diferencias entre valores observados y esperados (que siempre existirán por tratarse de una muestra aleatoria) son atribuibles, exclusivamente, al efecto del azar. En estas condiciones, se puede calcular un parámetro que depende de ambos, cuyadistribución se ajusta a una chi-cuadrado.
 
Si, por el contrario, la hipótesis nula fuera falsa los Ei ya no serían, realmente, los valores esperados de las frecuencias; por tanto, las diferencias entre los valores "esperados" y los observados reflejarían no sólo el efecto del azar sino también las diferencias entre los Ei y la auténtica serie de valores esperados (desconocida) Como consecuencia,las diferencias de los numeradores de la expresión anterior tienden a ser más grandes y, por estar elevadas al cuadrado, la suma de cocientes ser positiva y mayor que lo que se esperaría para los valores de una chi-cuadrado.

 

Por tanto, el parámetro anterior será el estadístico de contraste de la prueba de hipótesis y la región crítica se encontrar siempre en la cola derecha de ladistribución chi-cuadrado. Evidentemente, esta prueba será siempre de una sola cola.
          Estadístico de contraste :

Se acepta la hipótesis nula si , el percentil 1 – α de la distribución chi-cuadrado con  grados de libertad.
Cabe señalar que en las pruebas chi-cuadrado lo corriente es que pretendamos comprobar que una variable tiene una cierta...