Contracción de Lorentz

Tema 3. Secci´n 5.
o
Contracci´n de Lorentz-Fitzgerald.
o
Manuel Guti´rrez.
e
´
Departamento de Algebra, Geometr´ y Topolog´
ıa
ıa.
Universidad de M´laga. 29071-M´laga. Spain.
a
a
Junio de 2010.

Hasta ahora nos hemos ocupado de estudiar los fen´menos relacionados con
o
la medida del tiempo. En esta secci´n nos ocuparemos de un fen´meno de la
o
o
medida del espacio an´loga ala dilataci´n del tiempo.
a
o
Vamos a ver c´mo se produce esta discrepancia cuando ambos observadores
o
miden la longitud de una barra r´
ıgida.
Sea α un observador inercial que quiere medir la longitud de una barra
r´
ıgida. Es obvio que la manera de hacerlo es poner junto a la barra una cinta
m´trica y tomar las medidas de sus extremos. Sin embargo las cosas no son tan
e
sencillascuando lo que se quiere medir es la distancia de la Tierra a la Luna,
o simplemente una barra que va con una velocidad relativista respecto a α.
Entonces nos vemos obligados a concretar cu´l es el proceso de medir, proceso
a
que deber´ ser compatible con los principios de la Relatividad.
a
La clave es darse cuenta de que lo que hay que hacer es medir la posici´n de
o
los extremos de la barrasimult´neamente. La medici´n de la posici´n de cada
a
o
o
extremo la podemos hacer con el procedimiento radar que ya conocemos y que
sabemos que es compatible con los principios de la relatividad. Todo el problema
se centra en decidir la simultaneidad de las mediciones, y como sabemos esto es
una cuesti´n que depende de cada observador, pero que se puede realizar. Por
o
ejemplo, en elcaso de la barra, basta poner una cinta m´trica suficientemente
e
grande en reposo para α y tomar dos fotos simult´neas de los extremos de la
a
barra, luego s´lo habr´ que restar las medidas observadas de cada extremo.
o
a
Vamos a analizar el proceso mediante un diagrama de Minkowski.
Sea α un observador inercial que observa el paso de una barra a velocidad
constante v ∈ R por su l´
ınea deuniverso. En el extremo posterior de la barra
viaja un observador σ que ser´ inercial con velocidad relativa v respecto de α.
a
En el instante s = 0 para σ, los extremos trasero y delantero de la barra ocupan
la posici´n o y q respectivamente, en cambio para α, en el instante t = 0 los
o
extremos ocupan las posiciones o y p respect´
ıvamente.

1

El observador α toma dos fotos en elinstante t = 0, observa las mediciones
de las distancias y le sale que p est´ a una distancia L0 , y o a una distancia 0,
a
por lo que la longitud de la barra es L0 .
Sin embargo σ observa que α toma una foto del extremo delantero p de la
barra en el instante digamos s = −2, y del extremo trasero o en s = 0, con lo
que para ´l la medida est´ falseada por que no se han tomado simultaneamente.e
a
Para σ no ser´ ninguna sorpresa que a α le salga que la barra es m´s corta.
a
a
De hecho, se puede cuantificar la diferencia. La barra est´ en reposo para σ y
a
tiene una longitud L. Las lineas de universo de los extremos tienen coordenadas
(cs, 0) y (cs, L). Las coordenadas de estas l´
ıneas de universo en la referencia de
α ser´n, en funci´n del par´metro s,
a
o
a
)( )
( )
( )(
cs
cs
ct
1 v
c
=γ
=γ v
1
0
vs
x
c
)
)( )
(
( )
(
cs
cs + v L
ct
1 v
c
=γ
=γ v c
vs + L
1
L
x
c
Para saber la longitud de la barra medida por α, tenemos que saber las coordenadas de dos sucesos simultaneos para α en las l´
ıneas de universos de los
extremos de la barra. Tomamos los extremos de la barra para t = 0. Las coordenadas del primer extremo de la barrason (0, 0), para la segunda, hacemos
t = 0, y se obtiene s = − cv L y
2
L0 = γ(vs + L) = γ(−

v2
+ 1)L = γ −1 L
c2

Luego la longitud de la barra para α es γ −1 L, es decir, observa la barra m´s corta
a
√

que σ en un factor γ −1 = 1 − v2 < 1. Este fen´meno se llama contracci´n
o
o
c
de Lorentz-Fitzgerald.
En resumen, si por mi lado pasa un observador a velocidad v ∈ R, veo que...