Contraposición y Contraejemplo
Páginas: 3 (551 palabras)
Publicado: 4 de junio de 2015
Contraposición
En lógica, la contraposición de una declaración condicional se forma negando ambos términos e invirtiendo la dirección de la inferencia. Explícitamente, la contraposición de ladeclaración "si A, entonces B" es "si no es B, entonces no A." o, matemáticamente:
Una declaración y su contra-positiva son lógicamente equivalentes: si la afirmación es cierta, entonces sucontra-positivo es cierto, y viceversa.
La afirmación "si no q entonces no p" se llama el contrapuesto de la afirmación de "si p entonces q".
Ejemplos:
1) Un ejemplo lógico no matemático puede ser el siguiente:Imaginemos que un restaurante ofrece en su menú paella todos los jueves. Es decir, el evento "jueves" implica el evento "paella". Puede ser que vayamos un lunes y haya paella. O puede ser que vayamosun martes y no la haya. Pero lo que sabemos seguro es que todos los jueves hay paella. De todas las posibles conclusiones lógicas que se derivan de la anterior afirmación, sólo una de ellas escierta: que si vamos un día y no hay paella, entonces seguro que no es jueves. O dicho de otro modo, "no paella" implica "no jueves".
2) Un ejemplo matemático: la contraposición se puede usar paraestablecer que si a² es impar, entonces a es impar. Es evidente que a par implica a² par (si multiplicamos un número par por él mismo, obtenemos otro número par). Por lo tanto, podemos afirmar que si a² no espar, entonces a tampoco lo es. O dicho de otro modo, si a² es impar, entonces a es impar.
3) Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es par
Solución. Supongamosque n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción.
Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces,como m + m2 = n + n2 + n3, se tiene que m + m2 es impar.
Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente alguno de los números m o m+1 es par). Hemos llegado a una...
En lógica, la contraposición de una declaración condicional se forma negando ambos términos e invirtiendo la dirección de la inferencia. Explícitamente, la contraposición de ladeclaración "si A, entonces B" es "si no es B, entonces no A." o, matemáticamente:
Una declaración y su contra-positiva son lógicamente equivalentes: si la afirmación es cierta, entonces sucontra-positivo es cierto, y viceversa.
La afirmación "si no q entonces no p" se llama el contrapuesto de la afirmación de "si p entonces q".
Ejemplos:
1) Un ejemplo lógico no matemático puede ser el siguiente:Imaginemos que un restaurante ofrece en su menú paella todos los jueves. Es decir, el evento "jueves" implica el evento "paella". Puede ser que vayamos un lunes y haya paella. O puede ser que vayamosun martes y no la haya. Pero lo que sabemos seguro es que todos los jueves hay paella. De todas las posibles conclusiones lógicas que se derivan de la anterior afirmación, sólo una de ellas escierta: que si vamos un día y no hay paella, entonces seguro que no es jueves. O dicho de otro modo, "no paella" implica "no jueves".
2) Un ejemplo matemático: la contraposición se puede usar paraestablecer que si a² es impar, entonces a es impar. Es evidente que a par implica a² par (si multiplicamos un número par por él mismo, obtenemos otro número par). Por lo tanto, podemos afirmar que si a² no espar, entonces a tampoco lo es. O dicho de otro modo, si a² es impar, entonces a es impar.
3) Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es par
Solución. Supongamosque n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción.
Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces,como m + m2 = n + n2 + n3, se tiene que m + m2 es impar.
Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente alguno de los números m o m+1 es par). Hemos llegado a una...
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