Contraste de hipotesis

TEMA 10: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARA UNA MUESTRA
Curso 2010-11

1

Contrastes sobre la media de una población normal

Bibliografía: Novales, Secciones 10.4 y 10.5; Newbold, Secciones 9.2, 9.3 y 9.4; Agulló et al., Sección 4.2.1.

1.1

Contrastes sobre la media con varianza conocida
Sea X1 ; ::Xn una m.a.s. de una población N ( ; 2 ); con desconocida y 2 conocida. Sea 0 un número realconocido. Planteamos en primer lugar el contraste: CASO 1: H0 : = 0 H1 : 6= 0 N (0; 1): En particular, bajo H0 ;
0
2

Sabemos que (X tanto

p 2 =n )=

=

0;

y por

puede ser utilizado como estadístico de contraste. Puesto que la hipótesis alternativa es 6= 0 ; el estadístico de contraste tenderá a tomar valores mayores en valor absoluto bajo la hipótesis alternativa que bajo lahipótesis nula, y por tanto, rechazaremos H0 para valores “grandes”en valor absoluto del estadístico de contraste. Es decir, rechazaremos H0 a nivel si jZ j > z =2 ; este contraste recibe el nombre de “contraste de dos colas (o bilateral)”por la forma que tiene la región crítica. El p-valor de este contraste es el doble de la probabilidad de que una v.a. N (0; 1) tome valores mayores que el valorabsoluto del estadístico de contraste obtenido con la muestra. Razonando de modo totalmente análogo a como se hizo en el ejemplo del tema anterior, se deduce que la función de potencia es: ( ) = P (Z < = P (Z < z z
=2 =2

X Z = q

N (0; 1)

n

j ) + P (Z > z q
0
2

=2

j )
=2

) + P (Z > z

n

siendo Z una v.a. con distribución normal estándar. La forma de la función de potenciaobtenida es similar a la que se vió en el tema previo: es simétrica alrededor de 0 y en este valor alcanza su valor mínimo, que por construcción es ( 0 ) = ; (no es necesario comprobar aquí estas propiedades). 1

q

0
2

);

n

Ejemplo 1: Una empresa produce frascos de champú, cuyo peso sabemos que sigue una distribución normal con varianza poblacional de 36 gr2 . Cuando el proceso defabricación funciona correctamente el peso medio de los frascos es de 200 gr. Se desea contrastar si el proceso funciona correctamente y para ello se ha tomado una m.a.s. de 10 frascos obteniéndose que la media muestral es de 197 gr. En este caso, debemos realizar el contraste: H0 : H1 : = 200 6= 200

Tomaremos como nivel de signi…cación = 0:05. El estadístico de contraste es p 36 Z = X 200 =1:58; la regla de decisión es rechazar H0 si jZ j > 1:96; por lo tanto no hay evidencia su…ciente para rechazar la hipótesis nula. El p-valor del contraste se determina del siguiente modo: p-valor = P (Z > 1:58) + P (Z < 1:58) = 0:1142;
10

donde Z es una v.a. con distribución normal estándar. Imaginemos que sabemos que realmente = 202; ¿cuál sería entonces la probabilidad de rechazar lahipótesis nula?, es decir, ¿cuál es la potencia del contraste en 36 = 202? En este caso, X N (202; 10 ), luego (202) = P (jZ j > 1:96 j
36 10

= 202) X 200 = 202) + P ( q <
36 10

X 200 = P( q > 1:96 j = P (X > 200 + 1:96 = P (Z >

1:96 j

= 202) r 36 j 10

2 p + 1:96 j Z N (0; 1)) + P (Z < 36=10 = P (Z > 0:91) + P (Z < 3:01) = 0:1814 + 0:0013 = 0:1827

r

36 > 1:96 j 10

= 202) + P (X <200 p 2

1:96

= 202) N (0; 1))

36=10

1:96 j Z

Con las mismas hipótesis que antes, planteamos ahora el contraste: CASO 2: H0 : = 0 H1 : > 0 Cuando planteamos así el contraste es porque consideramos imposible que pueda suceder el caso < 0 . La hipótesis nula es la misma que antes, luego podemos p 2 =n, cuya disseguir utilizando como estadístico de contraste Z = (X 0 )= tribución bajoH0 seguirá siendo N (0; 1). Ahora bien, en este caso la hipótesis alternativa es > 0 ; por tanto, el estadístico de contraste tenderá a tomar valores más grandes bajo la hipótesis alternativa que bajo la hipótesis nula y, por tanto, rechazaremos H0 para valores positivos “grandes” del estadístico de contraste. Es 2

decir, rechazaremos H0 a nivel si Z > z : Obsérvese que la región crítica...