Contraste De Hipotesis

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EJERCICIOS
1. Probabilidad
2. Inferencia
3. Diseño de
Experimentos
4. Regresión

Escuela Técnica Superior de
Ingenieros Industriales
Universidad Politécnica de Madrid

.

Capítulo 1. Descriptiva
1.1 En un departamento cuatro profesores imparten clases en grupos con 10, 18, 22 y 150 alumnos
respectivamente. Si se pregunta a los profesores porel tamaño de su clase ¿cuál sería el valor medio
y la desviación típica obtenida? ¿Y si se pregunta a todos los alumnos del departamento?
1.2 ¿Es posible que la varianza de una variable x sea 4, la de y sea 9 y la de z = x + y sea igual a 2?
Justificar la respuesta.
1.3 Demostrar que al multiplicar x por k1 e y por k2 , el coeficiente de correlación entre ambas no varía
(k1 y k2 deben tener elmismo signo).
1.4 Demostrar que si entre dos variables existe una relación exacta y = a + bx, con b > 0, el coeficiente
de correlación es uno.
1.5 Demostrar que el coeficiente de correlación es siempre en valor absoluto menor que uno.
1.6 En un proceso de fabricación se han medido tres variables y calculado la matriz de varianzas con el
resultado siguiente:



231
3 4 2
122
¿Podemosafirmar que hay un error en los cálculos? ¿Por qué?
1.7 A la variable x de media x = 100 se le ha aplicado una transformación con el logaritmo decimal
obteniéndose la nueva variable y = log10 (x). La media de la nueva variable es y = 2.5. ¿Es posible
este resultado?
1.8 En la figura se presenta el diagrama de tallos y hojas de los residuos obtenidos de un diseño factorial.
Representa eldiagrama de caja (box plot) de los datos. (Nota.- La rama -6|91 representa los valores
-0.69 y -0.61).
2
2
4
10
18
29
(16)
36
27
20
14
6

-6
-5
-4
-3
-2
-1
-0
0
1
2
3
4

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

91
00
766320
98754310
98654321100
9977666554433211
015566677
2333478
134789
23455699
011355

1

Capítulo 2. Probabilidad
2.1 Sea X una variable aleatoriacon distribución uniforme en (0, 1). Calcular la probabilidad de que
2
Y > 0.8 si Y = e−X .
2.2 Se elige un punto al azar interior a la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = r2 . Llamando Z a la
variable aleatoria definida por la distancia entre el punto elegido y el centro de la circunferencia,
calcular las funciones de densidad y distribución de Z.
2.3 Si X es una variable aleatoria conmedia µ. Demostrar que cuando m = µ, E [(X − m)2 ] es mínima.
2.4 La función de densidad de la variable aleatoria X es
½
1/(kx), si 25 ≤ x ≤ 50
f (x) =
0,
en el resto.
Obtener k, la media y la varianza de X.
2.5 De acuerdo con la teoría cinética de los gases, la velocidad V de una molécula de masa m de un gas
a la temperatura (absoluta) T es una variable aleatoria con la siguiente función dedensidad:
f (v ) =

4
2
2
√ v 2 e−v /α , v ≥ 0
π

α3

p
√
donde α = 2kT /m, siendo k la constante de Boltzmann. Además, E (V ) = 2α/ π y Var(V ) =
(3/2 − 4/π )α2 . Calcular el valor medio de la energía cinética, mV 2 /2, de una molécula. ¿ A una
misma temperatura T , qué gas tiene mayor valor medio de energía cinética, uno ligero u otro más
pesado?
2.6 La función de distribuciónde la variable aleatoria X es FX (x). Obtener la función de densidad de
la variable aleatoria Y = FX (x).
2.7 Un modelo que habitualmente se utiliza en balística para comprobar la correcta calibración de las
armas es
·
¸
x2
x
f (x) = 2 exp − 2 ,
x ≥ 0, σ ≥ 0,
σ
2σ
donde la variable aleatoria X es la distancia del punto de impacto del proyectil al centro del blanco
al que iba dirigidoy σ es el parámetro que mide la precisión. Si para una distancia determinada de
disparo la precisión del arma es σ = 10 cm, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar 10 proyectiles,
ninguno haya impactado a una distacia menor de 5 cm del centro del blanco?
2.8 Adaptar la demostración de la desigualdad de Chebychev y demostrar la desigualdad de Markov
P (X > a) ≤

1
E [X ]
a

donde X es...