Contrastes

Cap´ıtulo 6
Contraste de hip´
otesis
Terminamos esta intrusi´on en la inferencia estad´ıstica con este tercer m´etodo.
Con frecuencia, el problema planteado no es simplemente la estimaci´on de un par´ametro, sino el
dise˜
no de una regla de decisi´on sobre la aceptaci´on o rechazo de cierta afirmaci´on realizada sobre la
poblaci´on estudiada. Estableceremos entonces un contraste, prueba o test dehip´otesis, cuyo objetivo
ser´a decidir, con alguna medida sobre con qu´e seguridad, la veracidad de la afirmaci´on, o hip´otesis
marcada. De forma esquem´atica, el problema se plantea en las etapas siguientes:
´ tesis nula y denotaremos H0 , y frente a ella
a) Se establece una hip´otesis, que llamaremos hipo
´ tesis alternativa.
otra hip´otesis H1 , o hipo
b) Se realiza un experimento aleatoriopara el que se sabe que si H0 es cierta, la probabilidad de
que ocurra cierto suceso S es peque˜
na.
�
ocurre S, se rechaza H0 ;
c) Si al realizar el experimento
no ocurre S, se acepta H0 .
La justificaci´on est´a en el hecho de que sabemos que de ser cierta H0 , S es de probabilidad peque˜
na,
luego si ha ocurrido S se ha dado un suceso bastante improbable, o bien H0 es falsa.
Los contrastes dehip´otesis se clasifican en param´etricos y no param´etricos. En los primeros ocurre
que al determinar el valor de un par´ametro, la distribuci´on poblacional queda determinada. En otro
caso, estaremos ante un contraste de hip´otesis no param´etrico.
En las primeras secciones nos dedicaremos a los contrastes param´etricos, aunque parte del lenguaje
es com´
un a ambos.

1.

Conceptos b´
asicosSupongamos que se conoce que cierta poblaci´on X sigue una distribuci´on dada por una funci´on
de masa Pθ (o funci´on de densidad fθ ), donde θ ∈ Θ. Sea (X1 � . . . � XN ) una muestra aleatoria de X.
Supongamos dada una partici´on del espacio param´etrico:
Θ = Θ 0 ∪ Θ1
en dos subconjuntos mutuamente excluyentes.
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CAP´ITULO 6. CONTRASTE DE HIPOTESIS

100

Definici´
on 1.1. Un test para contrastar lahip´otesis nula H0 : θ ∈ Θ0 frente a la hip´otesis alternativa
H1 : θ ∈ Θ1 , consiste en decidir, para cada posible muestra, si aceptamos o rechazamos H0 . Por lo
tanto, un test consistir´
a en dividir el espacio muestral (conjunto de todas las posibles muestras) en
dos regiones: una regi´
on cr´ıtica R, o de rechazo de H0 ; y una regi´on A, de aceptaci´on de H0 .
El problema est´a en c´omo tomaresta decisi´on de la manera menos err´onea posible. Obs´ervese
que con un test se pueden cometer, b´asicamente, dos tipos de errores:
Error de tipo I : rechazar H0 cuando no se debe (H0 es cierta)
Error de tipo II: aceptar H0 cuando no se debe (H0 es falsa).
La siguiente funci´on nos da una medida de cada uno de estos errores:
´ n de potencia de un test con regi´on cr´ıtica R, para contrastar H0 :Definici´
on 1.2. La funcio
θ ∈ Θ0 frente a H1 : θ ∈ Θ1 , es la funci´on que a cada θ ∈ Θ le hace corresponder el valor
Pθ (R) = Pθ ( rechazar H0 ) .
Con este nuevo concepto, es claro que nos interesar´a que la funci´on de potencia tome valores:
na probabilidad de error tipo I;
pr´oximos a 0 siempre que θ ∈ Θ0 : peque˜
pr´oximos a 1 siempre que θ ∈ Θ1 : peque˜
na probabilidad de error tipo II.
Loque se suele hacer es exigir que la funci´on de potencia no supere cierto valor, peque˜
no, cuando
θ ∈ Θ0 ; y procurar, despu´es, que sea lo mayor posible cuando θ ∈ Θ1 .
´ n (o tama˜
Definici´
on 1.3. El nivel de significacio
no) de un test con regi´on cr´ıtica R, para
contrastar H0 : θ ∈ Θ0 frente a H1 : θ ∈ Θ1 , es el valor
α = m´ax Pθ (R) .
θ∈ Θ0

(Es decir, la m´axima probabilidad de cometer elerror de tipo I).
As´ı, se fija cierto nivel de significaci´on α, peque˜
no, y se exige al test que no lo supere. De esta
manera, se est´a acotando la m´axima probabilidad de error tipo I. Con esta manera de proceder, vemos
que los papeles de las hip´otesis nula y alternativa, no son sim´etricos. El hecho de que acotemos la
m´axima probabilidad de error tipo I, por un valor pr´oximo a cero, hace...