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G E O M E T R Í A

UNIDAD 5

Triángulos II: Líneas y Puntos Notables

1. Altura

2. Mediana

Segmento que parte de un vértice y corta
en forma perpendicular al lado opuesto o
a su prologación.
Int.
Ext.

Segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto a dicho vértice.
B

Mediana BM

Coincide
con un cateto

A

C

M

om

Baricentro

Es el puntodonde se intersectan las tres
medianas de un triángulo.
G : Baricentro

ic
at

Teorema

 

B

BG=2GM
AG=2GN
CG=2GS

w

.M

at
e

m

Es el punto donde se intersectan las tres
alturas de un triángulo.
H : Ortocentro

a1
.c

Ortocentro

w

w

H

S

G

N

H
A

H

PARA RECORDAR
Todo triángulo tiene un solo ortocentro.
– Es un punto interior siel triángulo es
acutángulo.
– Es un punto exterior si el triángulo es
obtusángulo.
– Si es rectángulo está en el vértice del
ángulo recto.

U N F V – C E P R E V I

M

C

PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene un solo baricentro.
– Divide a cada mediana en relación
como 1 es a 2.
– El baricentro es siempre un punto
interior.
– Es llamado también gravicentro o
centro degravedad de la región triangular.

21

G E O M E T R Í A

3. Bisectriz

4. Mediatriz

Segmento que divide a un ángulo interior o
exterior en dos ángulos de igual medida.
B
interior

A

D

α α

β

Es una recta que pasa por el punto medio
de un lado cortándolo en forma perpendicular.

β

B

C

E

C

A

Incentro

Es el punto donde se intersectan las tresbisectrices interiores de un triángulo.
B
β β

A

L

exterior

I

α
α

↔

L : Mediatriz de AC

Circuncentro

I = incentro

γ

Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo.
C: Circuncentro

γ
C

O

at

ic

a1
.c

O

w

w

w

.M

at
e

m

– Todo triángulo tiene un solo incentro.
– El incentro equidista de los lados del
triángulo.– El incentro es siempre un punto interior
al triángulo.

om

PARA RECORDAR

Excentro

Es el punto donde se intersectan dos
bisectrices exteriores con una bisectriz
interior en un triángulo.
B

A

β
β

α
α

E

φ

φ

C

E : Excentro relativo a BC
PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene tres excentros.
– Los excentros son siempre puntos
exteriores al triángulo.22

O

PARA RECORDAR
– Todo triángulo tiene un solo circuncentro.
– El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.
– Es un punto interior si el triángulo es
acutángulo.
– Es un punto exterior si el triángulo es
obtusángulo.
– Si es rectángulo está en el punto medio
de la hipotenusa.

O

O

U N F V – C E P R E V I

G E O M E T R Í A

Observaciones

O

–Para ubicar un punto notable sólo es
necesario trazar dos líneas notables
de la misma especie.
– En todos los triángulos isósceles, si se
traza una de las cuatro primeras líneas
notables hacia la base, dicha línea
cumple las mismas funciones que las
otras.
– En todo triángulo equilátero el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro
coinciden.
– En todo triángulo isósceles, elortocentro, baricentro, incentro y el excentro
relativo a la base, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

Propiedad
Si: "O" es circuncentro
⇒ x = 2α

5. Ceviana

Propiedades con
líneas notables

Segmento que une un vértice con un
punto cualquiera del lado opuesto o de
su prolongación.

a1
.c

om

1. Ángulo formado por dos bisectrices
interiores.
a°

atic

B

w

.M

at
e

m

exterior

interior

w

α
α

w
A

D

C

Cevacentro

E

Es el punto donde se intersectan tres
cevianas de un triángulo.
C: Cevacentro o punto ceviano

A

C

α

β

N

x = 90º – a
2

β

x°

D

3. Ángulo formado por una bisectriz
interior y una bisectriz exterior.

PARA RECORDAR
Todo triángulo tiene infinitos...