CONTRATO DE COMPRAVENTA

UNIDAD 7
Principio de Trabajos Virtuales

por Javier L. Mroginski
Este principio es muy importante dado que establece una relaci´on entre el trabajo de las
cargas o acciones exteriores, que se componen luego en las solicitaciones (esfuerzos normales,
cortantes, flectores y torsores), con la energ´ıa de deformaci´on interna, que depender´a del estado
tensional y de las deformaciones delcuerpo.
El Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el
dise˜
no y c´alculo de mecanismos y desarrollado te´oricamente con un enunciado m´as matem´atico y
formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teor´ıa variacional y escribe su “Mec´anica
Anal´ıtica”donde coloca las bases de dicha disciplina.
No obstante a lo anterior el n´
ucleo te´oricodel P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli
(1654-1705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782): “Si una estructura, estando en equilibrio, sufre
una deformaci´on virtual debido a la acci´on de una carga adicional , el trabajo virtual externo de
la carga en cuesti´on, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas
por la carga”.
En cuanto a lo que concierne ala mec´anica de cuerpos r´ıgidos, dado que por definici´on estos
cuerpos no sufren deformaci´on sino desplazamientos, el P.T.V. debe ser reformulado. El mismo
fue enunciado por Johann Bernouilli en el a˜
no 1717 de la siguiente manera: “Dado un cuerpo
r´ıgido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este
sistema, durante un desplazamiento virtual, esnulo”. Por tal motivo algunos autores prefieren
llamar la P.T.V como Principio de los Desplazamientos Virtuales (P.D.V.), sin embargo en el
presente texto se conservar´a la denominaci´on original.

7.1

Trabajo

Para empezar definiremos algunos conceptos que serviran de base al Principio de Trabajos
Virtuales

7.1.1

Trabajo de una Fuerza

Consideremos una part´ıcula A, mostrada enla figura 7.1, que sufre un desplazamiento dr
debido a la aplicaci´on de una fuerza F . La part´ıcula material A, cuyo vector posici´on inicial
1

Estabilidad 1
Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

es r, pasa a ocupar la posici´on A’ definida por el verctor r + dr. El trabajo de la fuerza F
correspondiente al desplazamiento dr se define como:

Figura 7.1: Trabajo de una Fuerza

dU = F · dr(7.1)

donde · es el producto escalar entre los vectores F y dr que por definici´on es
dU = F · dr = F dr cos (θ) = F d

(7.2)

donde F es el m´odulo del vector F y d la proyecci´on del desplazamiento sobre la recta de acci´on
de la fuerza.
Dado que el trabajo de una fuerza se obtiene a partir del producto escalar entre dos vectores,
se obtiene como resultado una magnitud escalar, esdecir, el trabajo de una fuerza tendr´a magnitud y signo pero carecer´a de direcci´on al no tratarse de una magnitud vectorial. La magnitud
est´a dada por el valor absoluto del producto F dr = F |d|, mientras que el signo lo determina
el valor de cos (θ). Dicho de otra manera, cuando el sentido del vector desplazamiento del punto
de aplicaci´on de la fuerza, proyectado en la direcci´on de lamisma, es contrario al sentido de
dicha fuerza el trabajo ser´a negativo. En la figura 7.2 se ilustran las tres posibilidades de trabajo
que tiene una fuerza F .

Figura 7.2: Signo del trabajo de una fuerza
Por otro lado, puede notarse de (7.2) que el trabajo debe ser expresado en una unidad de
fuerza por una de longitud lo que constituye en definitiva una unidad de energia. Por ejemplo,
sise emplea el Sistema Internacional de Unidades (SI), la fuerza se expresa en Newton (N)
y la longitud en metros (m), y el producto Newton por metro es la unidad de energ´ıa del SI
denominado Joule (J), N.m = J.
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Unidad 7
Principio de Trabajos Virtuales

Aqui cabe realizar una diferenciaci´on entre el concepto de trabajo y de momento de una
fuerza.
El trabajo es el producto entre una...