Control Óptimo

30 de agosto de 2012 Carlos Echeverría Lavín
Prueba 1-C – Control Óptimo
Problema 1-C
Se tiene la función de transferencia:
G(s)=Y(s)/U(s) =36/s(s+4)(s+8)
→Y(s)(s^3+12s^2+32s)=36U(s)
Parte a
Esto expresado en el espacio del tiempo:
(∂^3 y(t))/(∂t^3 )+12 (∂^2 y(t))/(∂t^2 )+32 ∂y(t)/∂t=36u(t)
Este es un sistema de tercer orden, por ende se necesitan 3 condiciones iniciales, por ende, elvector de estados debe tener 3 términos:
x(t)=[■(y(t)@∂y(t)/∂t@(∂^2 y(t))/(∂t^2 ))] ∂x(t)/∂t=[■(∂y(t)/∂t@(∂^2 y(t))/(∂t^2 )@(∂^3 y(t))/(∂t^3 ))]
La ecuación de estado y estado/salida de este sistema, queda de la siguiente manera:
∂x(t)/∂t=⏟([■(0&1&0@0&0&1@0&-32&-12)] )┬A x(t)+⏟([■(0@0@36)] )┬B u(t)
y(t)=⏟([■(1&0&0)] )┬C x(t)
 
Parte b
Con las matrices obtenidas en laParte a, calculamos una nueva matriz para el Observador de Luenberger con A-K_0 C con el siguiente código en Matlab® usando la herramienta acker.m para forzar a que la matriz de estado tenga valores propios -12,-16,-20:
A = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, -32, -12];
B = [0; 0; 36];
C = [1, 0, 0];
D = [0];

THETA = [C; C*A; C*A^2];
rankTH = rank(THETA)
vp_A = eig(A)
L = [-12, -16, -20];
K0 =acker(A', C', L)
Ak = A - K0'*C;

THETA =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

rankTH =
3

vp_A =
0
-4
-8

K0 =
36 288 -768

Ak =
-36 1 0
-288 0 1
768 -32 -12

La matriz Γ de observabilidad de estado queda de la siguiente manera:
Γ=[■(-36&1&0@-288&0&1@768&-32&-12)]
 
Parte c
El funcionamiento de esteobservador lo comprobamos haciendo este sistema en Simulink® (se envía por correo adjunto el modelo) y luego graficando en Matlab®:

En la predicción del estado de orden0, vemos que sin el Observador de Luenberger no se logra, teniendo un error constante, y por otro lado con el Observador de Luenberger, este si tiende a 0 rapidamente. En la estimación de estados de primer y segundo orden, vemosque el error del Observador de Luenberger tiende a 0 igual que con la ecuación de estado, pero de manera bastante más rápida, en menos de la mitad de tiempo.
Problema 2-C
Se tiene el sistema dinámico:
y(k)=0.8y(k-1)+2u(k-1)+3
Con entradas u(k) y salidas y(k).
El control está acotado por |u(k)|≤0,6. La salida inicial es y(0)=8.
Se quiere encontrar el control óptimo {u(0),u(1),u(2),u(3)} paraminimizar la función de costo:
J=1/2 ∑_(i=1)^4▒(5u^2 (i-1)+y^2 (i))
Desarrollo
Nuestro vector variable de K-T es:
x=[■(■(■(y(1)&y(2) )&■(y(3)&y(4) ))&■(■(u(0)&u(1) )&■(u(2)&u(3) )))]^T
La función K-T a maximizar es:
F=-1/2 ∑_(i=1)^4▒(5u^2 (i-1)+y^2 (i))
Y las restricciones son:
y(i)-0.8y(i-1)-2u(i-1)-3=0
u(i-1)-0.6≤0 ∀i∈{1,2,3,4}-u(i-1)-0.6≤0
Son un total de 12 restricciones, 4 de igualdad y 8 de desigualdad.
El vector de λ es:
λ=[■(■(■(λ_1&λ_2 )&■(λ_3&λ_4 ))&■(■(λ_5&λ_6 )&■(λ_7&λ_8 ))&■(■(λ_9&λ_10 )&■(λ_11&λ_12 )))]^T
Donde λ_1,λ_2,λ_3,λ_4, no tienen restricción, pero los λ_5,λ_6,λ_7,λ_8,λ_9,λ_10,λ_11,λ_12 deben ser ≥0.
Las ecuaciones de las restricciones quedan de la siguiente manera:

g_1: y(1)-2u(0)-9.4=0
g_2:y(2)-0.8y(1)-2u(1)-3=0
g_3: y(3)-0.8y(2)-2u(2)-3=0
g_4: y(4)-0.8y(3)-2u(3)-3=0
g_5: λ_5 (u(0)-0.6)=0
g_6: λ_6 (u(1)-0.6)=0
g_7: λ_7 (u(2)-0.6)=0
g_8: λ_8 (u(3)-0.6)=0
g_9: λ_9 (-u(0)-0.6)=0
g_10: λ_10 (-u(1)-0.6)=0
g_11: λ_11 (-u(2)-0.6)=0
g_12: λ_12 (-u(3)-0.6)=0

Como tenemos una gran cantidad de restricciones, donde 8 son restricciones dedesigualdad, tenemos 2^8=256 casos distintos que analizar, y es sumamente largo hacerlo a mano, por ende, vamos a utilizar la herramienta de Matlab®.
[x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

Para usar este comando debemos fabricar la matriz para las restricciones de igualdad:
A_eq=[■(■(■( 1& 0@-0.8& 1)&■( 0& 0@ 0& 0)@■( 0& -0.8@...