Control 1 Fila A 2014 1

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA
DE CHILE
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FACULTAD DE MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
PRIMER SEMESTRE 2014

CONTROL 1
´
MAT1610 ⋆ CALCULO
1NOMBRE:.....................................................................................................................FILA A

1. Calcule el siguiente l´ımite.

√
6−x−2
l´ım √
x→2
3−x−1

2. Calcule
l´ım

x→−∞

√

x2 +x + 1 − 1
.
x

3. Determine los valores de A, B ∈ R de modo que la siguiente funci´on sea
continua en todo R.

−π

−2 sen(x)
si x ≤



2





−π
π
f (x) = A sen(x) + B
si
2
2






π

cos(x)
si x ≥
2
TIEMPO: 50 minutos.

1

Una soluci´
on
1. Para calcular el l´ımite pedido “racionalizaremos” en el denominador y el numerador
de la fracci´oninvolucrada, es decir:
√
√
√
√
6−x−2
6−x−2
6−x+2
3−x+1
= l´ım √
·√
·√
l´ım √
x→2
3 − x − 1 x→2 3 − x − 1
6−x+2
3−x+1
√
2−x
3−x+1
= l´ım
·√
x→2 2 − x
6−x+2
√
3−x+1
= l´ım √
x→2
6−x+2
1
= .
2
2. Paracalcular el l´ımite pedido, notamos que x → −∞, luego comenzaremos multipli−1
cando el numerador y el denominador de la fracci´on por
, con lo cual:
x

l´ım

x→−∞

√

x2 + x + 1 − 1
=l´ım
x→−∞
x

1+

3. Consideremos la funci´on:


−2 sen(x)








f (x) = A sen(x) + B








cos(x)

1
1
1
+ 2+
x x
x
= −1
−1

si x ≤
si

−π
2

π
−π
2
2

si x ≥

π
2

ππ
Para x ∈ R \ − ,
, f (x) es continua ya que las funciones trigonom´etricas lo son.
2 2
π
Verifiquemos en x = − , para ello, buscamos que
2
l´ım

x→(−π/2)−

f (x) =

l´ım

x→(−π/2)+

f(x) = f (−π/2).

En este caso
2 = −A + B
2

(1)

Por otro lado en x =

π
, deber´a tenerse que
2

l´ım

x→(π/2)−

f (x) =

l´ım

x→(π/2)+

f (x) = f (π/2). es

decir
0=A+B
Se concluye, de(1) y (2), que B = 1 y A = −1. Luego la funci´on pedida ser´a:

−π

−2 sen(x)
si x ≤



2





π
−π
f (x) = 1 − sen(x)
si

2
2






π

cos(x)
si x ≥
2

3

(2)...

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