control 1

Lugar geométrico de raíces

• La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo
cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo
cerrado.
• Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos
en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida.
u(t)

y(t)

KG(s)
H(s)

‫)ݏ(ܥ‬
‫)ݏ(ܩܭ‬
=ܴ(‫)ݏ(ܪ)ݏ(ܩܭ + 1 )ݏ‬

• Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia en
algunos sistemas mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones
deseadas

• W. R. Evans diseñó el método del lugar geométrico de las raíces, y en él se
grafican las raíces de la ecuación característica para cuando varia un
parámetro del sistema

Lugar geométrico de raíces

• El lugar geométrico deraíces considera la FT de lazo cerrado
‫)ݏ(ܩ‬
‫)ݏ(ܥ‬
=
ܴ(‫)ݏ(ܪ)ݏ(ܩ + 1 )ݏ‬

• Donde la ecuación característica esta dada por:
1+‫0= ݏ ܪ ݏ ܩ‬

• Que se puede expresar
‫1− = ݏ ܪ ݏ ܩ‬

Condición de ángulo
Condición de magnitud

• Condición de magnitud
‫ݏ ܪ ݏ ܩ‬

=1

• Condición de ángulo
∡‫… ,3 ,2 ,1 ,0 = ݈ ; 1 + ݈2 081± = ݏ ܪ ݏ ܩ‬

• Ejemplo

‫1+ݏ‬
‫= ݏ ܪ ݏ ܩ‬
‫)݆ −2 + ݏ()݆ + 2 + ݏ(ݏ‬

• Condición de magnitud
‫ݏ ܪ ݏ ܩ‬

=1

• Condición de ángulo
∡‫… ,3 ,2 ,1 ,0 = ݈ ; 1 + ݈2 081± = ݏ ܪ ݏ ܩ‬

• Para el ejemplo
• Condición de magnitud
‫ݏ ܪ ݏ ܩ‬

=

Pole-Zero Map
1.5
0.84

0.72

0.46

0.3

0.16

a2

‫1ܣ‬
=1
‫4ܣ 3ܣ 2ܣ‬

1 0.92

PP

A2

Imaginary Axis

0.5 0.98

• Condición de ángulo

0.6

∡‫4ܽ − 3ܽ − 2ܽ − 1ܽ = ݏ ܪݏ ܩ‬
= ±180 2݈ + 1
; ݈ = 0, 1, 2, 3, …

A3
a1

A1
2.5
0

2

1.5

a3

1

0.5

A4
-0.5 0.98

a4
-1 0.92
0.84
-1.5
-2.5

0.72
-2

-1.5

0.6
-1
Real Axis

0.46

0.3
-0.5

0.16
0

Lugar geométrico de raíces

• Grafica del LGR para el ejemplo

‫ܭ‬
‫= ݏ ܪ ݏ ܩ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬

• La función de Transferencia de lazo cerrado
1
‫)ݏ(ܥ‬
‫ܭ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬
=
=ଶ
1
ܴ(‫ܭ + 1 )ݏ‬
‫݇+ݏ+ ݏ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬
‫ܭ‬

• La ecuación característica
‫ ݏ‬ଶ + ‫0 = ܭ4 − 1 5.0 − 5.0 + ݏ ܭ4 − 1 5.0 + 5.0 + ݏ = ܭ + ݏ‬

• El lugar geométrico de raíces se genera a partir de las raíces de la ecuación
característica, cuando varia K de 0 al infinito
‫ ݏ‬ଶ + ‫0 = ܭ4 − 1 5.0 − 5.0 + ݏ ܭ4 − 1 5.0 + 5.0 + ݏ = ܭ + ݏ‬

• Los polos son:
‫ݏ‬ଵ = −0.5 − 0.5 1 − 4‫ܭ‬

• ‫0=ܭ‬• ‫=ܭ‬

ଵ
ସ

• ‫1=ܭ‬
• ‫2=ܭ‬

‫ݏ‬ଶ = −0.5 + 0.5 1 − 4‫ܭ‬

‫ݏ‬ଵ = −1

‫ݏ‬ଶ = 0

‫ݏ‬ଵ = −0.5

‫ݏ‬ଶ = −0.5

‫ݏ‬ଵ = −0.5 − ݆0.5 3

‫ݏ‬ଶ = −0.5 + ݆0.5 3

‫ݏ‬ଵ = −0.5 − ݆0.5 7

‫ݏ‬ଶ = −0.5 + ݆0.5 7

• Graficando la ubicación de los polos, para los diferentes valores de ‫:ܭ‬
Pole-Zero Map
1.5
0.7

0.56

0.42

0.3

0.2

0.1

1.2

X
1

1.4

1
0.84
0.8X

0.6

Imaginary Axis

0.5

0.95

0.4
0.2

0

X

X

X
0.2

-0.5

0.4

0.95

0.6

-1

0.8

X

0.84

1

X
0.7

0.56

0.42

1.2
0.3

0.2

0.1

-1.5
-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6
Real Axis

-0.4

-0.2

1.4
0

0.2

Condiciones de magnitud y ángulo

‫= ݏ ܪ ݏ ܩ‬

• Condición de ángulo

‫ܭ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬

∡‫… ,3 ,2 ,1 ,0 = ݈; 1 + ݈2 081± = ݏ ܪ ݏ ܩ‬

∡

‫ܭ‬
2
2
= − 180 − ‫ି݊ܽݐ‬ଵ
− ‫ି݊ܽݐ‬ଵ
‫)1 + ݏ(ݏ‬
0.5
0.5
= −104.04 − 75.96 = −180
= ±180 2݈ + 1 ; ݈ = 0

• Condición de magnitud
‫ܭ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬

=
௦ୀି଴.ହା௝ଶ

‫ݏ ܪ ݏ ܩ‬

=1

‫ܭ‬
‫ܭ‬
‫ܭ‬
=
=
=1
4.61
−0.5 + ݆2(−0.5 + ݆2 + 1)
−4.5 + ݆1
‫16.4 = ܭ‬

∡

‫ܭ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬
Pole-Zero Map

2.5

2.5
0.5

= −104.04 − 75.96 = −1800.27

0.19

0.12

0.06
2

2
1.5

‫ݏ ܪ ݏ ܩ‬

0.38

=1

1.5

0.68

1

1

‫ܭ‬
‫)1 + ݏ(ݏ‬

௦ୀି଴.ହା௝ଶ

Imaginary Axis

0.88
0.5

0.5
0
-0.5

0.5
0.88

‫ܭ‬
=1
4.61

-1
-1.5

1
0.68

1.5

-2

2
0.5

-2.5

-1.4

0.38
-1.2

-1

0.27
-0.8

-0.6
Real Axis

0.19
-0.4

0.12

0.06
-0.2

2.5
0

0.2

• El lugar...