CONTROL 2

CONTROLABILI
DAD
Y
OBSERVABILID
AD

Controlabilidad y
observabilidad
En las próximas clases discutiremos dos conceptos fundamentales de la
teoría de sistemas: controlabilidad y observabilidad . Esos dos conceptos
describen la interacción de un sistema entre el mundo externo (entradas y
salidas) y las variables internas (estados).
nformalmente, la controlabilidad es la propiedad que indica siel
comportamiento de un sistema se puede controlar actuando sobre sus
entradas.
La observabilidad es la propiedad que indica si el interno de
comportamiento
un sistema puede detectarse desde sus salidas.
Empezaremos considerando la controlabilidad de varios sistemas.

Controlabilidad
Considere el sistema LTI representado por la ecuación de estados de n estados, q
entradas
x˙ (t) = Ax(t) +Bu(t);
donde A ∈ Rn×n y B∈ Rn×q . La controlabilidad solo relaciona entradas y
estados, así la ecuación de salida y(t) = Cx(t) + Du(t) es irrelevante.

(1)

Controlabilidad: La ecuación de estado (1) o el par (A; B) se dice controlable
si para todo estado inicial x(0) = x0 y todo estado final x1 , hay una entrada
que transfiere x0 a x1 en tiempo finito. En otro caso, (1) o (A; B) se dice no
controlableEsta definición solo requiere que la entrada sea capaz de llevar el estado a
cualquier lugar en el espacio de estados en tiempo finito sin importar qué trayectoria siga el estado.

Controlabilidad
Ejemplo (Sistema no controlable). Considere el sistema eléctrico de la izquierda
en la figura de abajo.
• Es un sistema de primer orden con variable de estado x, el voltaje en el
capacitor. Si elcapacitor no tiene carga inicial, x(0) = 0, entonces
x(t) = 0 ∀t > 0, sin imporat la entrada aplicada. La entrada no tiene efecto
sobre el voltaje en el capacitor. Este sistema, o más precisamente, la
ecuación de estado que lo describe no es controlable.
• El sistema a la derecha tiene dos variables de estado. La entrada puede
se
transferir x1 o x2 a cualquier valor deseado, pero no importa qué entradasiempre será igual a x (t). Este sistema tampoco es
2

aplique, x1 (t)
controlable.

+
1Ω

+

u

y
−

−

1F
1Ω

1Ω

1F

1F

1Ω
+ x −

+

+

+

u

x1

x2

−

−

−

1Ω

1Ω

Prueba de controlabilidad
Teorema (Prueba de controlabilidad). Las siguientes declaraciones son
equivalentes.
1. El par n dimensional (A; B) es controlable.
2. La matriz de controlabilidad
C = B

AB A2 B

tiene rango n (rangofila completo).
3. La matriz n × n,

no es singular ∀t > 0.

...

An−1 B ,

Prueba de controlabilidad
Ejemplo. La ecuación de espacio de estados linealizada del sistema de péndulo
invertido a la derecha está dada por,
θθ

m
mg

l
u
M

y

La matriz de controlabilidad es

la cual tiene rango fila completo, luego el sistema es controlable. Si θ se desvía
un poco de 0, sabemos que existe un control quelo devolverá al equilibrio en
tiempo finito.

Controlabilidad & equivalencia algebraica
La controlabilidad es una propiedad de un sistema que es invariante respecto a
transformaciones de equivalencia algebraicas (cambio de coordenadas).
Considere el par (A; B) con C =

An−1 B

AB . . .

B
¯
¯
algebraicamente equivalente (A ; B ),

y un par

donde A = PAP−1 ,

B = P B, y P es una
matriz nosingular. Entonces la matriz de controlabilidad del par (A¯ ; B¯ )
es
¯
¯

¯ =

C

¯
B

=

PB

= P B

¯ ¯ ...
BA
PAP−1 PB

AB

¯

An−1 B

...

. . . An−1 B

= PC
Ya que P es no singular, rango(C) = rango(C
¯)

¯
PAn−1 P−1 PB

Gramiano de controlabilidad
La matriz Wc (t) utilizada para chequear la controlabilidad de (A; B) se puede
usar para construir una señal de control de lazo abierto u(t) que lleveal estado x
desde cualquier x0 a cualquier x1 en tiempo finito.

Gramiano de controlabilidad
Si la matriz A is Hurwitz (todos sus autovalores tiene parte real negativa),
entonces Wc (t) converge para t → ∞, y se denota simplemente como Wc ,

y se denomina Gramiano de controlabilidad de (A; B).
Si deseamos llevar el estado x desde 0 a x1 en tiempo infinito, (t1 → ∞), se
encuentra que la mínima...