Control 3 Estadistica II Hora B 1 Semestre 2014 UDP Pauta 1 1

Coordinaci´on Matem´aticas y estad´ısticas
Inferencia estad´ıstica-Control N◦ 3
Profesores: O. Ramos; C. llanos; J. Arratia
16 de Mayo de 2014
Duraci´on: 70 Minutos

1. Suponga que nueve variables aleatorias X1 , . . . , X9 constituyen una m.a.s. de una distribuci´
on
Normal Est´
andar y sea Y = (X1 + X2 + X3 )2 + (X4 + X5 + X6 )2 + (X7 + X8 + X9 )2 . Determine
un valor c tal que la variablealeatoria cY tenga distribuci´on χ2 . (1 puntos)
Soluci´
on
Como X1 , . . . , X9 es una m.a.s. de una distribuci´on N (0, 1) tenemos que :
X1 + X2 + X3
√
∼ N (0, 1) ⇒
3

X1 + X2 + X3
√
3

2

X1 + X2 + X3 ∼ N (0, 3) ⇒

X4 + X5 + X6
√
∼ N (0, 1) ⇒
3

X4 + X5 + X6
√
3

2

X4 + X4 + X6 ∼ N (0, 3) ⇒

X7 + X8 + X9
√
∼ N (0, 1) ⇒
3

X7 + X8 + X9
√
3

2

X7 + X8 + X9 ∼ N (0, 3) ⇒

∼ χ21
∼ χ21
∼ χ21

Por lotanto:
(X1 + X2 + X3 )2 + (X4 + X5 + X6 )2 + (X7 + X8 + X9 )2
∼ χ23
3
Por lo tanto c = 13 .
2. Considere el intervalo del 90 % de confianza para la media µ de una poblaci´on normal con
varianza desconocida σ 2 y tama˜
no de muestra n = 16. ¿Cu´al es la probabilidad de que la
longitud (aleatoria) de este intervalo sea menor que σ ?. (Ind. use que P (χ215 < 19,5)
0,82)
(1 punto)
Soluci´
on
Elintervalo de confianza para la media con varianza desconocida es :
Sc ¯
α Sc
¯ − tn−1 (1 − α ) √
X
, X − tn−1 (1 − ) √
2
2
n
n
n
Con Sc2 = n−1
V ar(X).
Luego el ancho de este intervalo es :

2tn−1 (1 −

α Sc
)√
2
n

Como la confianza es del 90 % y n = 16,tenemos que α = 0,01 y
tn−1 (1 −

α Sc
Sc
Sc
) √ = t15 (0,95) = 1, 754
2
4
4
n

luego la probabilidad de que el ancho de este intervalo sea menor que σes:
P

2

1, 754Sc
<σ
4

⇔P

2

Sc
< 2,282
σ

⇔P
1

Sc
< 1,141
σ

⇔P

Sc2
< 1,302
σ2

⇔P

15Sc2
< 19, 5
σ2

Ahora por Teorema de Fisher tenemos que
15

Sc2
∼ χ215
σ2

Luego la probabilidad buscada es P (χ215 < 19,5)

0,82

3. El volumen de producci´
on diaria de una empresa se considera como una variable aleatoria normal,
con par´ametros desconocidos, se selecciona aleatoriamente una muestraaleatoria de 20 d´ıas y se
registra el volumen de producci´
on, obteni´endose los siguientes datos:
Xi = 856,

Xi2 = 37706

En base a un intervalo de confianza del 95 % para la producci´on media diaria de la empresa,
¿aceptar´a o rechar´
a usted la afirmaci´
on que el volumen de producci´on medio es µ = 43 unidades.?
Justifique adecuadamente. (1.5 puntos)
Soluci´
on
Sea X volumen de producci´
n diariade la empresa. El intervalo de confianza para la media con
varianza desconocida es :
Sc ¯
α Sc
¯ − tn−1 (1 − α ) √
X
, X + tn−1 (1 − ) √
2
2
n
n
n
Con Sc2 = n−1
V ar(X).
Luego como la confianza es del 95 %, tenemos que 1 − α = 0, 95, asi α = 0,05 y
tn−1 (1 − α2 ) = t19 0, 975 = 2,093.
¯ 2 = 37706 − ( 856 )2 = 7, 3122 . Con esto Sc = 7,502
Adem´as V ar(X) = n1
Xi2 − X
20
20
Luego el intervalo deconfianza buscado es:

7,502
7,502
42,8 − 2,093 · √ ; 42,8 + 2,093 · √
= [39, 289; 46, 311]
20
20
Luego, aceptamos que la media es 43.
4. Una agencia publicitaria ha lanzado una campa˜
na para promover un nuevo producto. Uno de
los comerciales fue proyectado en un mercado de prueba, y se telefone´o a una muestra de espectadores para verificar la retenci´
on del mensaje. Los que vieron el avisofueron clasificados seg´
un
el porcentaje de evocaci´
on del mensaje, obteni´endose:
Tasa de recordaci´on
0 − 10
10 − 20
20 − 30
30 − 40
40 − 50
50 − 60

2

N´
umero de personas
2
5
12
23
9
6

a) Determine, con un 98 % de confianza, el porcentaje medio de recordaci´on del mensaje y
expl´ıquelo. (1 punto)
Soluci´
on
Sea X = Porcentaje de recordaci´on del mensaje de la campa˜
na publicitaria.
Primeronote que tama˜
no de la muestra que se toma es n = 57 > 30, entonces el intervalo
de confianza para la media con varianza desconocida es :
Sc ¯
Sc
¯ − Z(1− α ) √
α √
X
,
X
+
Z
(1−
)
2
2
n
n
n
Con Sc2 = n−1
V ar(X).
Luego utilizando la siguiente tabla de frecuencia :

Tasa de recordaci´on
0 − 10
10 − 20
20 − 30
30 − 40
40 − 50
50 − 60
Total

Xi
5
15
25
35
45
55

fi
2
5
12
23
9
6
57

Xi − X
−28,772...