Control Adaptivo

Trabajo de Control Automático II
Control de Adaptación

Introducción

El objetivo del control adaptativo es controlar las variables de entrada al proceso,
calculadas a partir de ciertas variables que reflejan el comportamiento del mismo y que deben ser monitorizadas en cada instante. En este nivel de procesos, en la practica totalidad de los casos se utilizan como variables manipuladas lavelocidad de avance y, en algunos casos además, la velocidad de rotación. Como variables a medir y controlar se han tomado
fundamentalmente un modelo de referencia y una ley de control para la planta:

G (s)=bs=Y(s)U(s)

De esta manera el presente trabajo tiene como fin mostrar atreves de un modelo de una planta la simulación de un control adaptativo.

Para el desarrollo y verificaciónde parámetros del modelo de la planta, es que nos basaremos en la teoría de estabilidad de Lyapunov.
. El método de Lyapunov establece una función de energía ficticia, denominada función de Lyapunov, aplicable a cualquier ecuación diferencial o en diferencias y tanto a sistemas lineales como a no lineales. En función del signo de la función de Lyapunov y de su derivada con respecto al tiempo, sepueden obtener conclusiones sobre el tipo de estabilidad de un estado de equilibrio. Hay dos métodos de Lyapunov para el estudio de la estabilidad. El primero llamado también indirecto, trabaja con las soluciones explícitas de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. El segundo método llamado también directo, no necesita de dicha solución, por lo que es más general y se encuentra masextendido.

Desarrollo
En vuestro trabajo realizaremos una modelación mediante el método de Lyapunov de una planta real G(s) ya mencionada, también cuenta con una ley de control u(t) y un modelo de referencia Gm(S).
Primer paso a realizar es la comprobación de la función de Lyapunov:

Ve,So,to=12e2+1bδ(b*So-am)2+(b*to-bm)2

Luego derivamos la función para verificar que existencondiciones para la cual esta función tiene derivada negativa, y por lo tanto un equilibrio en el sistema de control adaptivo
V(e,S0,t0)=12 e2+1b∙γb∙S0-am2+b∙t0-bm2
Aplicando la derivada a cada termino:
Ve,S0,t0=12 e2+1b∙γb∙S0-am2+b∙t0-bm2/ ddt
Obtenemos:
dVdt=ddt 12e2+ 12bγ*ddt bS0-am2+12bγ*ddt bt0- bm2
Resolviendo lo anterior obtenemos:
dVdt= e(t)dedt+ 1γ bS0-Amd S0dt+1γ bt0-bmdt0dtLuego que comprobamos la función de Lyapunov determinamos la ecuación del error que esta dada por :
et=yt-ymt /ddt
Aplicando la derivada obtenemos lo siguiente:
dedt=dydt-dymdt /dydt /dymdt
dedt=b*ut-(bm*rt-am*ym)
dedt=b-So*yt+to*rt-bm*rt+am*ym
dedt=-b*So*yt+b*to*rt-bm*rt+am*ym
dedt=yt*-b*So+rt*b*to-bm+am*ym
dedt=yt*-b*So+rt*b*to-bm+am*ym-am*yt+am*y(t)dedt=yt*-b*So+rt*b*to-bm-am*(yt-ym)+am*y(t)

Asi llegamos a:

dedt=yt*-b*So+rt*b*to-bm-am*e
Para calcular dy(t)dt se usó la expresión de G(s) :
G(s)= Y(s)U(s)= bS
Distribuyendo y aplicando inversa de Laplace para hacer aparecer la derivada temporal, se obtuvo:

Ys∙S=b∙Us /L-1

dy(t)dt= b∙u(t)

Para calcular dym(t)dt usamos la expresión para Gm(s)
Ym(s)R(s)= bmS+am

Yms∙S+Yms∙ am =bm∙R(s) ∕L-1dym(t)dt+ymt∙am=bm∙r(t)

dYm(t)dt=bm*r(t)-y(t)*Am

Luego reemplazamos:

detdt=b∙Ut-bm∙rt+ymt∙am

Y reemplazamos la ley de control u(t) por lo que resulta

detdt=b-S0∙yt+t0∙rt-bm∙rt+ymt∙am

Luego sumamos y restamos una misma cantidad para dejar la expresión sin modificar su valor pero con términos que permiten una asociación conveniente:detdt=b-S0∙yt+t0∙rt-bm∙rt+ymt∙am+amyt-amy(t)

detdt=yt*-bS0+am+rt∙bt0-bm-am∙yt-ymt

Identificamos y(t) – ym(t)=e(t)

detdt=Yt∙-bS0+am+rt∙bT0-bm-am∙e(t)

Reemplazando :

dvdt=et*Yt*-bS0+am+et*rt*bt0-bm-am*e2t+1γ*bS0-am*dS0dt+1γ*bt0-bm*dt0dt

(8) dvdt=-bS0+am∙et∙yt-1γdS0dt-bt0-bm∙e∙rt+1γ∙dt0dt-am∙e2(t)

Luego exigimos que los términos de suma y resta de e(t)y(t) y de e(t)r(t) sean cero para que...