control analogico

INTRODUCCIÓN
En la actualidad, los sistemas de control están presentes en nuestro entorno, en los medios de transporte, las telecomunicaciones, el hogar, en cosas tan simples como la descarga de agua de los sanitarios siendo este el sistema de control análogo más sencillo. De acuerdo a la complejidad de los sistemas así son los controladores que deben de ser implementados para manipular sucomportamiento, además, se deben de tener en cuenta las posibles perturbaciones que puedan afectar el sistema y los sensores involucrados en este.

Por lo anterior, el estudio de los sistemas de control es de gran importancia, por lo cual en este trabajo se presenta el diseño y simulación de tres tipos de controladores en tiempo continuo y discreto, empleando diferentes características para sudiseño, en este documento se ilustra el procedimiento desarrollado para cada uno de los 3 ejercicios planteados.

















DESARROLLO DE LA SITUACIÓN
Para el desarrollo de este proyecto fue necesario realizar algunos cálculos y simulaciones para cada uno de los ejercicios, a continuación se describe detalladamente la solución a cada uno de ellos:
Ejercicio 1: Supongaque la función de transferencia de la planta es:
G(s)=10/(s^2+3s+2)
(a) Calcule la constante de error de posición, el error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado. (b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1 segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es T= 0.1 segundos.
Solución al ejercicio 1:
Para encontrar la constante de error de posición K_p, era necesario aplicar la siguiente ecuación:
e_ssp=A/(1+G(0))
Donde, A es la ganancia de la planta.
Por lo anterior era necesario conocer cuál era la ganancia de la planta, por lo que serealizaron los siguientes cálculos con la función de transferencia suministrada en el ejercicio:
(s)=10/(s^2+3s+2)=(A*w_n^2)/(s^2+2ξw_n s+w_n^2 )
Igualando término a término la siguiente igualdad se tiene:
w_n^2=2
w_n=√2
A*w_n^2=10
A=10/〖(√2)〗^2 =5
2ξw_n=3
ξ=3/(2*√2)=1.06
Por lo tanto, el tiempo de establecimiento de la planta es:
t_s=4.6/(ξw_n )=4.6/(1.06*√2)=3.07s
Conociendo los datosanteriores el error de estado estacionario es:
e_ssp=5/(1+5)=0.83
Con el análisis de algunas características de la planta en lazo abierto, se procedió al diseño del controlador PID con las características descritas anteriormente, a continuación se describe el procedimiento realizado:
Inicialmente, se diseñó el sistema de segundo orden que cumpliera con las características de sobre impulso del5% y un tiempo de establecimiento menor a 1, escogiendo para nuestro caso 0.8s; por lo anterior un sistema de segundo orden tipo se describe como:
G(s)=(w_n^2)/(s^2+2ξw_n s+w_n^2 )
Para encontrar el valor de ξ se empleó la siguiente ecuación que tiene en cuenta el sobre impulso:
ξ=√(1/[1+π^2/[ln⁡Mp ]^2 ] )=√(1/[1+π^2/[ln⁡0.05 ]^2 ] )=0.69
Teniendo el calor de ξ y el tiempo de establecimientots, se calculó el valor de wn:
w_n=3/(ξ t_s )=3/(1.06*0.8)=5.43
Con los datos anteriores la planta de segundo orden deseada nos queda:
G(s)=29.53/(s^2+7.493s+29.53)
Sabiendo que la función de transferencia del controlador PID es [1]:
G_c (s)=(K_d s^2+K_p s+K_i)/s
Ahora la función de transferencia del sistema con el controlador en lazo cerrado es:
G_pLC (s)=(10K_d s^2+10K_ps+10K_i)/(s^3+(10K_d+3) s^2+(10K_p+2)s+10K_i )
A la función de transferencia de la planta a controlar se le agrega un polo en 9 entonces nos queda:
G(s)=90/(s^3+〖12s〗^2+29s+18)
Se igualan los coeficientes del denominador de la función de transferencia anterior y la función de transferencia en lazo cerrado, obteniendo:
10K_d+3=12
10K_p+2=29
10K_i=18
Despejando las constantes del controlador son:...