control automativo de procesis

Respuesta Din´mica de Sistemas Lineales de Primer
a
Orden
Antonio Flores T. ∗
Chemical Engineering Department
Universidad Iberoamericana
Prolongaci´n Paseo de la Reforma 880
o
M´xico DF, 01210, MEXICO
e
January 30, 2002

1

Introducci´n
o

La respuesta din´mica de un sistema se puede representar en t´rminos de la figura 1,
a
e

u(t)

System

y(t)

Figura 1: Respuesta deun sistema en presencia de una perturbaci´n en la entrada.
o
donde u(t) es una funci´n variable de entrada, y (t) es la respuesta del sistema.
o

2

Sistemas lineales de primer orden

La respuesta din´mica de muchos sistemas se puede representar mediante la siguiente
a
ecuaci´n diferencial lineal de primer orden,
o

a1
∗

dy
+ ao y = bu(t)
dt

E-mail: aflores@kaos.dci.uia.mx,http://kaos.dci.uia.mx, phone/fax: (+52)5 2674279

1

(2.1)

o de manera equivalente,
τ

dy
+ y = Ku(t)
dt

(2.2)

donde,
a1
ao
b
K=
a1
τ=

(2.3)
(2.4)

K es la ganancia a lazo abierto del sistema y τ la constante de tiempo a lazo abierto.
La ecuaci´n 2.2 se puede escribir en t´rminos del dominio de Laplace (s):
o
e
G(s) =

K
τs + 1

(2.5)

la soluci´n de estaecuaci´n, en el dominio del tiempo, dada por:
o
o
t

y (t) = uK (1 − e− τ )

(2.6)

• Efecto de la ganancia sobre la respuesta del sistema. De la funci´n de
o
transferencia de primer orden:
G(s) =

K
s+1

a continuaci´n examinaremos el efecto, sobre la respuesta del sistema, de modio
ficar la ganancia de la planta. En la figura 2 se muestra la respuesta del sistema
como funci´n dela ganancia del sistema a lazo abierto K .
o
3
K=3
2.5

K=2

Amplitude

2

1.5

K=1

1

0.5

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5
3
Time (secs)

3.5

4

4.5

5

Figura 2: Efecto de la ganacia a lazo abierto sobre la respuesta del sistema.
como puede notarse para un sistema lineal de primer orden la respuesta del sistema cambia por un factor K . Si la respuesta delsistema es 1 entonces doblando
K la repuesta del sistema ser´ 2.
a
2

1
0.9
0.8

tau=1
tau=2

0.7

Amplitude

0.6
tau=3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

2

4

6

8
Time (secs)

10

12

14

16

Figura 3: Efecto de la constante de tiempo a lazo abierto sobre la respusta del sistema.

• Efecto de la constante de tiempo sobre la respuesta del sistema. Si
laconstante de tiempo a lazo abierto se modifica se obtendr´ una respuesta del
a
sistema semejante a la mostrada en la figura 3. Como puede notarse si se aumenta
la constante de tiempo a lazo abierto, manteniendo constante la ganancia del
sistema, se obtendr´n las nuevas condiciones de operaci´n en estado estacionario
a
o
en mayor tiempo. Duplicando el valor de la constante de tiempo tambi´n se
eduplica el tiempo para alcanzar el estado estacionario 1 .
Ejemplo 1 Considere el modelo de un reactor continuo tanque agitado discutido en
el ejemplo xx del cap´
ıtulo xx. Escribir el modelo de dicho reactor en t´rminos de la
e
ecuaci´n 2.2.
o
El modelo linealizado est´ dado por:
a
¯
dCA
Q
CAo − CA ¯
¯
=−
Q
+ 2kCA CA +
dt
V
V
o bien en t´rminos de la ecuaci´n 2.2,
e
o
1
QV

+ 2kCA

CAo −CA
V

¯
dCA
¯
+ CA =
dt

Q
V

+ 2kCA

¯
Q

de donde,
¯
y = CA
¯
u=Q
τ=
K=

1

1

Q
V

+ 2kCA
CAo −CA
V

Q
V

+ 2kCA

posteriormente se dar´ una definici´n m´s formal de la constante de tiempo.
a
o
a

3

3

Polos y ceros de una funci´n de transferencia
o

Recordemos que una funci´n de transferencia G(s) se expresa como elcociente de dos
o
polinomios:
bm sm + bm−1 sm−1 + ... + bo
G(s) =
(3.7)
an sn + an−1 sn−1 + ... + ao
a las raices z1 , ..., zm del polinomio del numerador,
bm sm + bm−1 sm−1 + ... + bo = 0
se les llama los ceros del sistema,mientras que las raices p1 ..., pn del polinomio del
denominador,
an sn + an−1 sn−1 + ... + ao = 0
se llaman los polos del sistema.
En particular para una funci´n...