Control Calculo Uc3M

Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´cnica Superior
e
´
Departamento de Matematicas
Primer Curso del Grado en Ingenier´ en
ıa
Sistemas de Comunicaci´n, Sistemas Audiovisuales yTelem´tica
o
a
NOTA

C´lculo I. Tercer control, 17 de diciembre de 2008
a

Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.N.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tiempo: 80 min.
1. Halla las siguientes primitivas
2
dx,
x2 − 2x + 2

cos3 x sen2 x dx

x(log x)2 dx
[4.5 p.]

2. Calcula el l´
ımite
limx→0

x t2
0e

dt − x
.
x3
[1.5 p.]

3. Halla el ´rea encerrada por la gr´fica de la funci´n f (x) =
a
a
o
eje vertical.

1
, su as´
ıntota en x → +∞ y el
1 + e−x
[2 p.]

4. Calculael volumen generado al rotar
0 ≤ y ≤ 1 + sen x,
alrededor del eje x.

0 ≤ x ≤ 2π
[2 p.]

Respuestas:
1.
x2

2
dx =
− 2x + 2

cos3 x sen2 x dx =
=

2
dx = 2 arctan(x − 1) + C.
(x −1)2 + 1

cos x(1 − sen2 x) sen2 x dx =

cos x sen2 x dx −

cos x sen4 x dx =

1
1
sen3 x − sen5 x + C.
3
5

En la ultima, hay que hacer dos veces IPP, primero con u = (log x)2 y despu´scon u = log x,
´
e
x(log x)2 dx =
=
=
2.

x2
log x x2
log2 x − 2
dx =
2
x2
x2
x2
x2
log2 x − x log x dx =
log2 x −
log x +
2
2
2
x2
x2
x2
log2 x −
log x +
+ C.
2
2
4x t2
0 e dt
lim
x →0
x3

3.

∞

A=

1−
0

−x

1
1 + e−x

2

x
dx =
2

2

ex − 1
2xex
1
= lim
= lim
=.
L H x→0 3x2
L H x→0 6x
3

∞

dx =
0

e−x
dx = − log (1+ e−x )
1 + e−x

∞

= log 2.
0

4.
2π

Vx = π

2π

1 + 2 sen x +
0

(1 + 2 sen x + sen2 x)dx =

0

0

=π

2π

(1 + sen x)2 dx = π

1 − cos 2x
2

2π

dx = π
0...