control clasico

UNIVERSIDAD VERACRUZANA


INGENIERIA MECANICA ELECTRICA


CONTROL CLASICO


OCTAVIO LOPEZ CRUZ














a)

(d^2 y)/〖dt〗^2 +3 dy/dt+2y=2u→ (Y(s))/(U(s))

1.- SOLUCIÓN HOMOGENEA

y ̈+3(y ) ̇+2y=0
y=e^mt
y ̇=〖me〗^mt
y ̈=m^2 e^mt

Sustituyendo

m^2 e^mt+3〖me〗^mt+2e^mt=0
e^mt (m^2+3m+2)=0
m^2+3m+2=0
m_1=-2,m_2=-1
Combinación lineal de funcionesy_h=C_1 e^(m_1 t)+C_2 e^(m_2 t)
2.-SOLUCION PARTICULAR (u=1) ecuación escalonado
y ̈+3(y ) ̇+2y=2
y=k
y ̇=0
y ̈=0

Sustituyendo
0+3(0)+2k=2 ∴2k=2∴k=2/2∴k=1 ∴ y_p=1
3.-SOLUCION GENERAL
y_t=y_h+y_(p )∴ y_t=C_1 e^(m_1 t)+C_2 e^(m_2 t)+1
4.-CONDICIONES INICIALES y_((0))=0 {█(t=0@y=0)┤ ,y ̇_((0))=0 {█(x=0@y ̇=0)┤
1.- y=C_1 e^(m_1 t)+C_2 e^(m_2 t)+1 ∴ 0=C_1 e^(-2(0))+C_2 e^(-1(0))+1∴C_1+C_2=-1
C_2=-1-C_1
2.- y ̇=-2C_1 e^(-2(0) )-C_2 e^(-1(0) )∴ 0=-2C_1-C_2∴ -2C_1+1+C_1=0∴ C_1=1 ∴ C_2=-2
y_t=e^(-2t)-2e^(-t)+1
TRANSFORMADA DE LAPLACE
L S^2 Y+3SY+2Y=2u Y(S^2+3S+2)=2u
Y=2/((S^2+3S+2) ) u ∴Y=2/S(S^2+3S+2) = A/S+B/(S+2)+C/(S+1)

(A(S^2+3S+2)+BS(S+1)+CS(S+2))/S(S^2+3S+2) ∴ 2=A(S^2+3S+2)+BS(S+1)+CS(S+2)
S=0→2=2A∴A=1
S=-2→2=B(-2)(-2+1)∴B=1S=-1→2=C(-1)(-1+2)∴C=-2
Y=1/S+1/(S+2)-2/(S+1)
L^(-1 ) y_t=1+e^(-2t)-2e^(-t)





b)

(d^2 y)/〖dt〗^2 +2 dy/dt+5y=5u→ (Y(s))/(U(s))

1.- SOLUCIÓN HOMOGENEA

y ̈+2(y ) ̇+5y=0
y=e^mt
y ̇=〖me〗^mt
y ̈=m^2 e^mt

Sustituyendo

m^2 e^mt+2me^mt+5e^mt=0
e^mt (m^2+2m+5)=0
m^2+2m+5=0
m_1=-1+2i,m_2=-1-2i
m=α±βi{█(β=2@α=1)┤
y_h=C_1 e^αt cos⁡βt+C_2 e^αt sin⁡βt
y_h=C_1 e^αt cos⁡2t+C_2 e^αt sin⁡2t2.-SOLUCION PARTICULAR (u=1) ecuación escalonado
y ̈+2(y ) ̇+5y=5
y=k
y ̇=0
y ̈=0

Sustituyendo
0+2(0)+5k=5 ∴5k=5∴k=5/5∴k=1 ∴ y_p=1
3.-SOLUCION GENERAL
y_t=y_h+y_(p )∴ y_t=C_1 e^(-t) cos⁡2t+C_2 e^(-t) sin⁡2t+1
4.-CONDICIONES INICIALES y_((0))=0 {█(t=0@y=0)┤ ,y ̇_((0))=0 {█(x=0@y ̇=0)┤
1.- y=C_1 e^(-(0)) cos⁡2t+C_2 e^(-(0)) sin⁡2t+1 ∴ 0=C_1 cos⁡〖2(0)〗+C_2 sin⁡〖2(0)〗+1∴C_1+1=0∴C_1=-1

2.- y ̇=-C_1 e^(-t) 2sin2t+cos⁡2t+C_2 e^(-t) 〖2cos2t-sin〗⁡2t∴0 ̇=-C_1 2sin2(0)+cos⁡2(0)+C_2 〖2cos2(0)-sin〗⁡〖2(0)∴0=-C_1+2C_2 〗∴C_2=-1/2
y_t=-e^(-t) cos⁡2t-1/2 e^(-t) sin⁡2t+1



TRANSFORMADA DE LAPLACE
L S^2 Y+2SY+5Y=5u Y(S^2+2S+5)=5u
Y=5/((S^2+2S+5) ) u ∴Y=5/S(S^2+2S+5) = A/S+(BS+C)/(S^2+2S+5)

(A(S^2+2S+5)+(BS+C)S)/S(S^2+2S+5) ∴ 5=AS^2+2AS+5A+BS^2+CS5=S^2 (A+B)+S(2A+C)+5A
5=5A∴A=1
2A+C=0∴C=-2
A+B=0∴B=-1

Y=1/S+(-S-2)/(S^2+2S+5)=1/S-(S+2)/((S+1)^2+(2)^2 )=1/S-(S+1+1)/((S+1)^2+(2)^2 )
L^(-1 ) y_t=-e^(-t) cos⁡2t-1/2 e^(-t) sin⁡2t+1






c)

(d^2 y)/〖dt〗^2 -2 dy/dt+37y=37u→ (Y(s))/(U(s))

1.- SOLUCIÓN HOMOGENEA

y ̈-2(y ) ̇+37y=0
y=e^mt
y ̇=〖me〗^mt
y ̈=m^2 e^mt

Sustituyendo

m^2 e^mt-2me^mt+37e^mt=0
e^mt(m^2-2m+37)=0
m^2-2m+37=0
m_1=1+6i,m_2=1-6i
m=α±βi{█(β=6@α=1)┤
y_h=C_1 e^αt cos⁡βt+C_2 e^αt sin⁡βt
y_h=C_1 e^t cos⁡6t+C_2 e^t sin⁡6t
2.-SOLUCION PARTICULAR (u=1) ecuación escalonado
y ̈-2(y ) ̇+37y=37
y=k
y ̇=0
y ̈=0

Sustituyendo
0-2(0)+37k=37 ∴37k=37∴k=37/37∴k=1 ∴ y_p=1
3.-SOLUCION GENERAL
y_t=y_h+y_(p )∴ y_t=C_1 e^t cos⁡6t+C_2 e^t sin⁡6t+1
4.-CONDICIONES INICIALES y_((0))=0{█(t=0@y=0)┤ ,y ̇_((0))=0 {█(x=0@y ̇=0)┤
1.- y=C_1 cos⁡〖6(0)〗+C_2 sin⁡〖6(0)〗+1∴ 0=C_1+1∴ C_1=-1
2.- y ̇=C_1 e^((0) ) (cos⁡6(0)-6e^((0) ) sin⁡6(0) )+C_2 e^((0) ) (sin⁡6(0)+6 cos⁡6(0) )∴ 1=6C_2
C_2=1/6
y_t=-1e^t cos⁡6t+1/6e^t sin⁡6t+1
TRANSFORMADA DE LAPLACE
L S^2 Y-2SY+37Y=37u Y(S^2-2S+37)=37u
Y=37/((S^2-2S+37) ) u ∴Y=37/S(S^2-2S+37) =A/S+(BS+C)/(S^2-2S+37)(A(S^2-2S+37)+(BS+C)S)/S(S^2-2S+37) ∴ 37=AS^2-2AS+37A+BS^2+CS
37=S^2 (A+B)+S(-2A+C)+37A
37A=37∴A=1
A+B=0∴B=-1
-2A+C=0∴C=2
Y=1/S+(-1S+2)/(S^2-2S+37)=1/S-(S-2)/((S-1)^2+6^2 )=1/S-(S-1-1)/((S-1)^2+6^2 )




d)

(d^2 y)/〖dt〗^2 +2 dy/dt+y=u→ (Y(s))/(U(s))

1.- SOLUCIÓN HOMOGENEA

y ̈+2(y ) ̇+y=0
y=e^mt
y ̇=〖me〗^mt
y ̈=m^2 e^mt

Sustituyendo

m^2 e^mt+2me^mt+e^mt=0
e^mt...