control de nivel

P O N T I F I CI A U N I V ER S I D A D C A T Ó L I C A D E V A L P A R A Í S O
F A C U L T A D

D E

I N G E N I E R Í A

ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA

INFORME TAREA 2
CONTROL DE PROCESOS
EIQ 540-01

Integrantes:
Eduardo Contreras C.
Gabriel Silva P.

Profesor:
Javier Silva C.
Fecha de entrega:
09 de Octubre de 2013.

Objetivos


Estado natural a partir del dominio s.

Determinar la función de transferencia del proceso con control y sin control
(estado natural) y del sistema.



Definir el lazo de control

Resolución
El siguiente proceso consta de 3 estanques acumuladores conectados en serie.

Figura 1. Proceso de 3 estanques acumuladores en serie.

Estado natural a partir del dominio s
Las ecuaciones diferenciales de modelación obtenidasde la primera tarea son las
siguientes:
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
𝑑ℎ3
𝑑𝑡

𝑘1∗√ℎ1

=

𝐹1

=

𝑘1∗√ℎ1

=

𝑘2∗√ℎ2

𝐴

−

𝐴

𝐴

(1)

𝐴

−

𝑘2∗√ℎ2

−

𝑘3∗ √ℎ3

𝐴

𝐴

(2)
(3)

𝐹1 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1
𝐴 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒
ℎ1 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1
ℎ2 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2
ℎ3 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 3
𝑘1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1
𝑘2 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2
𝑘3 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 3
Para obtener el dominio s, primero se realiza la serie de Taylor a la variable √ℎ para
las ecuaciones (1), (2) y (3), para posteriormente aplicar la transformada de Laplace.
1

√ℎ1 = √ℎ10 − 2∗√ℎ (ℎ1 − ℎ10 )
10

1

√ℎ2 = √ℎ20 − 2∗√ℎ (ℎ2 − ℎ20 )
20

1

√ℎ3 = √ℎ30 − 2∗√ℎ (ℎ3 − ℎ30 )
30

ℎ10 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1
ℎ20 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2
ℎ30 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 3

(4)
(5)
(6)

Se reemplaza la ecuación (4) en (1) obteniendo:
𝑑ℎ1
𝑑𝑡
𝑑ℎ1
𝑑𝑡

=

𝐹1

=

𝐹1

𝐴

𝐴

−

𝑘1

−

𝑘1

𝐴

𝐴

1

∗ ( √ℎ10 − 2∗√ℎ (ℎ1 − ℎ10 ))
10

∗ √ℎ10 +

𝑘1

𝑘1∗ℎ

2∗𝐴∗√ℎ10

∗ ℎ1 − 2∗𝐴∗√ℎ10

10

Se usa la transformada de Laplace:
𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0) =

𝐹1
𝐴1

∗𝑠−

𝑘1
𝐴

1

∗ √ℎ10 ∗ 𝑠 +

𝑘1
2∗𝐴∗√ℎ10

𝑘1∗ℎ

1

∗ ℎ1 (𝑠) − 2∗𝐴∗√ℎ10 ∗ 𝑠
10

(7)

ℎ1 (0) = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1

Para minimizar términos, se aplican los respectivos cambios de variables:
𝑤1 =

𝐹1

𝑤2 =

𝑘1

𝑤3 =

(8)

𝐴

𝐴

∗ √ℎ10

(9)

𝑘1

(10)

2∗𝐴∗√ℎ10
𝑘1∗ℎ

𝑤4 = 2∗𝐴∗√ℎ10

(11)

10

1

𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0) = (𝑤1− 𝑤2 − 𝑤4 ) ∗ 𝑠 + 𝑤3 ∗ ℎ1 (𝑠)

(12)

𝑤1 − 𝑤2 − 𝑤4 = 𝛼

(13)

La ecuación final en el dominio s del primer estanque es finalmente:
𝒉 (𝟎)

𝜶

𝒉𝟏 (𝒔) = 𝒔∗(𝒔−𝒘

𝟑)

𝟏
+ (𝒔−𝒘

𝟑)

(14)

Se reemplaza la ecuación (5) en (2) obteniendo:
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
𝑑ℎ2
𝑑𝑡

=

𝑘1

=

𝑘1

𝐴

𝐴

1

∗ ( √ℎ10 − 2∗√ℎ (ℎ1 − ℎ10 )) −
∗ √ℎ10 −

k2

10

𝐴

2∗𝐴∗√ℎ10

∗ ℎ1 +2∗𝐴∗√ℎ10 −

𝑘1

𝑘1∗ℎ

1

∗ (√ℎ20 − 2∗√ℎ (ℎ2 − ℎ20 ))
20

𝑘2

∗ √ℎ20 +

𝑘2
2∗𝐴∗√ℎ20

𝑘2∗ℎ

∗ ℎ2 − 2∗𝐴∗√ℎ20

10

𝐴

𝑘1

∗ ℎ1 (𝑠) + 2∗𝐴∗√ℎ10 ∗ 𝑠 −

20

Se usa la transformada de Laplace:
𝑠 ∗ ℎ2 (𝑠) − ℎ2 (0) =
𝑘2
2∗𝐴∗√ℎ20

𝑘1

1

∗ √ℎ10 ∗ 𝑠 −

𝐴
𝑘2∗ℎ20

2∗𝐴∗√ℎ10

𝑘1∗ℎ

1

10

𝑘2
𝐴

1

∗ √ℎ20 ∗ 𝑠 +

1

∗ ℎ2 (𝑠) − 2∗𝐴∗√ℎ ∗ 𝑠

(15)

20

ℎ2 (0) = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2

Para minimizar términos, se aplican los respectivos cambios de variables:
𝑤5 =
𝑤6 =

𝑘2
𝐴

∗ √ℎ20

(16)

𝑘2

(17)

2∗𝐴∗√ℎ20
𝑘2∗ℎ

𝑤7 = 2∗𝐴∗√ℎ20

(18)

20

1

𝑠 ∗ ℎ2 (𝑠) − ℎ2 (0) = (𝑤2 + 𝑤4 − 𝑤5 − 𝑤7 ) ∗ 𝑠 − 𝑤3 ∗ ℎ1 (𝑠) + 𝑤6 ∗ ℎ2 (𝑠)

(19)

𝑤2 + 𝑤4 − 𝑤5 − 𝑤7 = 𝛽

(20)

𝛽

ℎ2 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −
6

𝑤3 ∗ℎ1 (𝑠)
(𝑠−𝑤6 )

+

ℎ2 (0)(21)

(𝑠−𝑤6 )

Reemplazando la ecuación (14) en (21), La ecuación final en el dominio s del
segundo estanque es finalmente:
𝜷

𝒉𝟐 (𝒔) = 𝒔∗(𝒔−𝒘

𝒘 ∗𝜶

𝟔)

− 𝒔∗(𝒔−𝒘 𝟑 )(𝒔−𝒘
𝟑

𝟔)

𝒘 ∗𝒉𝟏 (𝟎)
𝟑 )(𝒔−𝒘𝟔 )

𝟑
− 𝒔∗(𝒔−𝒘

+

𝒉𝟐 (𝟎)
(𝒔−𝒘𝟔 )

(22)

Se reemplaza la ecuación (6) en (3) obteniendo:
𝑑ℎ3
𝑑𝑡
𝑑ℎ3
𝑑𝑡

=

k2

=

𝑘2

𝐴...