Control de procesos

RESPUESTA A LA FRECUENCIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426 Profesor: Celso Montalvo

1

Respuesta a la Frecuencia
El Método de la Respuesta a la Frecuencia consiste en perturbar el Sistema con una señal sinusoidal y estudiar su Respuesta Transitoria. Supongamos que tenemos un Sistema de 1er Orden:Y ( s) ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ X ( s ) ⎝ τs + 1 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎛ Aω ⎞ Y ( s) = ⎜ ⎟⎜ 2 2 ⎟ ⎝ τs + 1 ⎠⎝ s + ω ⎠

X (t ) = A sen(ωt )

⎛ ω ⎞ X ( s ) = A⎜ 2 2 ⎟ ⎝s +ω ⎠

Hallando la Inversa de la transformada:
Y ( s) = − Aωτ ⎛ s ⎞ A ⎛ ω ⎞ Aωτ ⎛ τ ⎞ + + ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ 2 2 ⎟ 2 2 ⎜ 2 2 ⎟ 1 + ω τ ⎝ s + ω ⎠ 1 + ω τ ⎝ s + ω ⎠ 1 + ω 2 τ 2 ⎝ τs + 1 ⎠
t

Cuando el tiempo es grande, t → ∞.
Y (t ) = − Aωτ A cos(ωt ) + sen(ωt) 2 2 1+ ω τ 1 + ω2 τ 2

Aωτ A Aωτ − τ cos(ωt ) + sen(ωt ) + Y (t ) = − e 1 + ω2 τ 2 1 + ω2 τ 2 1 + ω2 τ 2
p ⋅ cos( x ) + q ⋅ sen( x ) = r ⋅ sen( x + θ) ⎛ p⎞ θ = arctg⎜ ⎟ ⎜q⎟ ⎝ ⎠

Usando:

A Y (t ) = sen(ωt + θ) 1 + ω2 τ 2

θ = arctg(− ωτ )

CELSO MONTALVO

2

Respuesta a la Frecuencia
Comparando las señales Forzante y Respuesta (de entrada y salida)
X (t ) = A sen(ωt )
Y (t )= A sen(ωt + θ) 1 + ω2 τ 2

θ = arctg(−ωτ )

La Respuesta tiene la misma frecuencia ω. La Amplitud de la Respuesta es menor que la amplitud inicial. En un Sistema de 1er Orden siempre es menor que la amplitud inicial. La forma de la Onda de la respuesta está desfasada por un ángulo θ. En el caso de sistemas de 1er Orden el desfase es negativo, es decir, la respuesta se retrasa. θ se llamaAngulo de Fase. Fase

CELSO MONTALVO

3

Análisis de la Estabilidad
Si al aplicar una perturbación sinusoidal, la amplitud de la salida es menor que la amplitud de la entrada, podemos esperar que al pasar el tiempo la perturbación se atenúe hasta desaparecer.
G(s) G(s)

2 1 0.5

1 0.5 0.25

2 4 8

4 8 16

Puede evaluarse la Estabilidad de Sistemas de Control si se estudia cómo varíala amplitud de la Respuesta Transitoria cuando se perturba el sistema con una señal sinusoidal de Amplitud 1.

CELSO MONTALVO

Y (t ) =

A sen(ωt + θ) 1 + ω2 τ 2

4

Análisis de Estabilidad por la Respuesta a la Frecuencia
El método de la Respuesta a la Frecuencia usa la Función de Transferencia en Lazo Abierto:
+

R
-

Kc

1 2s + 1

4s + 2 4s 2 + s + 1

Sen(ωt)
Kc

12s + 1

4s + 2 4s 2 + s + 1

Km
Lazo Cerrado

Km
Lazo Abierto

⎛ 1 ⎞⎛ 4s + 2 ⎞ G ( s) = Kc⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ Km ⎝ 2s + 1 ⎠⎝ 4s + s + 1 ⎠

Se puede incluir ó no el controlador dependiendo del objetivo del análisis.

CELSO MONTALVO

5

Análisis de Estabilidad por la Respuesta a la Frecuencia
Método de Sustitución, una afortunada circunstancia: En la función de transferencia en lazo abiertose reemplaza la variable s por el término ωj, donde j2=-1 y se convierte la transformada en un número complejo.
⎛ 1 ⎞ G ( s) = ⎜ ⎟ ⎝ τs + 1 ⎠

⎛ 1 ⎞ G(ωj ) = ⎜ ⎜ τωj + 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠

El número complejo G(ωj) se caracteriza por una amplitud A y un ángulo de fase θ.
j b r

G (ωj ) = a + b ⋅ j

θ a x

A ≡ G (ωj ) = a 2 + b 2 ⎛b⎞ θ ≡ ∠G (ωj ) = arctg ⎜ ⎟ ⎝a⎠

CELSO MONTALVO

6

Análisisde Estabilidad por la Respuesta a la Frecuencia
Para el sistema de 1er orden:
⎛ 1 ⎞ G ( s) = ⎜ ⎟ ⎝ τs + 1 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − τωj + 1 1 τω G(ωj ) = ⎜ = − ⎟⋅ ⎟=⎜ ⎜ τωj + 1 ⎟ ⎜ τωj + 1 ⎟ − τωj + 1 1 + τ2ω2 1 + τ2ω2 j ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ − τω ⎞ = +⎜ G (ω j ) = ⎜ 2 2 ⎟ 2 2 ⎟ ⎝1+ τ ω ⎠ ⎝1+ τ ω ⎠ 1 + τ 2 ω2
2 2

τω ⎛ ⎜− 2 2 ∠G (ωj ) = arctg⎜ 1 + τ ω 1 ⎜ ⎜ ⎝ 1 + τ 2 ω2

⎞ ⎟ ⎟ = arctg(− τω) ⎟ ⎟ ⎠Este método pemite un cálculo más rápido de la Amplitud y el Angulo de Fase que el método de la inversión de transformadas.

CELSO MONTALVO

7

Tabla de AR y θ
FUNCIÓN k (Cte) 1 τs + 1 τs + 1 1 τ s + 2 ζτ s + 1
2 2

AR k 1 1 + τ 2ω 2 1 + τ 2ω 2 1 (1 − τ ω ) + ( 2 ζτω ) 2
2 2 2

θ 0 arctg( − ωτ ) arctg( ωτ )

⎛ − 2 ζτω ⎞ arctg ⎜ 2 2 ⎟ ⎝1− τ ω ⎠ ⎛ bω ⎞ arctg ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1 − aω ⎠ ⎛ − (...