Control de un levitador

TAREA DE CONTROL AVANZADO
“El orden es luz en la oscuridad”
1. La Figura 1 muestra un esquema de un sistema de suspensión magnética, en el que una bola de material ferroso se suspende mediante un electroimán de corriente controlada por realimentación a través de una medición óptica de la posición de la bola. Este sistema tiene los ingredientes básicos de sistemas para levitación de masasusados en giróscopos, acelerómetros y trenes de alta velocidad.

Figura 1. Levitador magnético

Básicamente, la ecuación de movimiento de la bola es:
md2ydt2=-kdydt+mg+Fy,i 1.
Donde m es la masa de la bola, y≥ 0 es la posición vertical (hacia abajo) de la bola medida desde un punto de referencia (y = 0 cuando la bola está pegada al electroimán),k es el coeficiente de fricción viscosa, g es la aceleración de la gravedad, F(y, i) es la fuerza generada por el electroimán, e i es la corriente. La inductancia del electroimán depende de la posición de la bola, y puede modelarse como:
Ly=L1+Lo1+ya 2.
Donde L1, Lo y a son constantes positivas.
La fuerza F(y, i) estádada por
Fy,i=-Loi22a1+ya2 3.
El circuito de la bobina se comanda con una fuente de tensión v, y la ley de tensiones de Kirchhoff da la relación:
v=Lydidt+Ri 4.
Donde R es la resistencia del circuito.
a) Se definen: x1=y x2=y y x3=i como variables de estado,y u = v como entrada de control, demostrar que la ecuación de estado del sistema no lineal está dada por:
x1=x2
x2=g-kmx2-Loax322ma+x12 5
x3=1L(x1)Loax2x3(a+x1)2-Rx3+u

Utilizando las variables de estado
x1= y
x1=y Teniendo x2=y
x1=x2
De 1.
md2ydt2=-kdydt+mg+Fy,i
mÿ=-ky+mg+Fy,i 1'.
Reemplazando 3. en 1'.
mÿ=-ky+mg-Loi22a1+ya2
mÿ=-ky+mg-Loi22a1+ya2
Despejando ÿ :
ÿ=-kmy+g-Loi22am1+ya2
Cambiando por variables de estado:
Si x2=y x2=ÿ
x3=i x32=i2
x2=g-kmx2-Lox322ama+y2a2
Así queda demostrada la ecuación 2
x2=g-kmx2-Loax322m(a+y)2
De4
v(t)=Lydi(t)dt+Ri
En el libro control automático de kuo podemos ver que L(y) es el resultado de una integral por eso podemos ponerla como dL(y)dt

v(t)=d(Ly.i(t))dt+Ri
vt=Ly.di(t)dt+i.dLydt+Ri
La derivada de Ly la multiplico y divido por dy para poder derivarla por que si no se hace eso y se deriva Ly con respecto a dt esta seria una constante por lo que esa derivada daría comoresultado 0.
vt=Lyditdt+i(t).dLydy.dydt+Ri(t)
Reemplazo Ly para derivarla, pero
Ly=L1+Lo1+ya=L1+Loaa+y
v(t)=Lydi(t)dt+i(t).dL1+Loaa+ydy.dydt+Ri
v(t)=Lydi(t)dt+i(t).-Loa(a+y)2.dydt+Ri
Cambiamos a variables de estado
u=Lx1.x3-x3.Loa(a+x1)2.x2+Rx3
Lx1.x3=u+Loa(a+x1)2.x3.x2-Rx3
Despejo x3 demostrando así la ecuación de estado 3.

x3=1Lx1Loa(a+x1)2.x3.x2-Rx3+u

b) Se desea equilibrar labola en una posición deseada y=yR, calcule los valores de v y de i necesarios para mantener el equilibrio. (Puntos de equilibrio, solución literal).

Para hallar los puntos de equilibrio se hace los xi=0
0=x2 1.
0=g-kmx2-Loax322ma+x12 2.
0=1L(x1)Loax2x3(a+x1)2-Rx3+u 3.

1. en 2. y 3.0=g-Loax322ma+x12 2'
0=1L(x1)u-Rx3 3'

De 2' despejo x3
x32=2gma+x12Loa

x3=2gmLoa.a+yR 4.
De 3' despejo u
0.Lx1=u-Rx3 u=Rx3 5.

4. en 5. u=R2gmLoa.a+yR

Po=x1,x2,x3,u
Po=yR,0,2gmLoa.a+yR,R2gmLoa.a+yR

c) Linealice el sistema alrededor del punto y=yR=0.05m. y...