Control digital

Comel/farios. De la misma forma romo se lrabaja con lil IransfonlldOa de Laplace. una labia de las .transformadas : de las funciones comllnmente enconlr;Jdas es muy utI! ell Ii:! resoluci6n de '~dS en el campo de los sistemas en tlempo dlscrelo La tabla 2·1 cs de eSle tip')'
TABLA 2,1
TABLA DE TRANSFORMADAS X(s)
~(I)

z
0

«leT)

x(k)

d

X(z)

I.

-

-

Ddl1 de "r"'\1'~~"iS,ll) I. k-O 0, k t< I)

I I
:

I

I

2.

!
5

M." - kJ
I

O.

" = ~ " t< k

!

I
I

3.

1(')

I(k)

1

~
I

~

-I5

+

, ...

f

••

r

U

1 - t .• T Z-I

5,

r

I -.

~)
I'

leT

TI- '
(I - :")'

.

\,~

"-

6

5

2 ,.

(leT)'

T':"(I + r~) (1 _ :"),1 T':"(l +4z'" + I")

7

6 -; s a 5(5'+ 0)
b - a • (s +a)(5+ bl
I (5 + u)'
5

,"
I - c '"'

(kT).1

(I - z")'
r
(I - e,·T)z" (I - (")(I - e,·T:.')

S

.

1-

l!- ••

9.

(-COl _

(-,.,

t~·'T

_ r- A• T

(e·· r - e''')z''
(I - e·· r :")(1 - e ., I")
Tt-·TZ- 1

10.

Ie''''

kTe''' T

(I - e'·T z ")' I - (I + oTle'·T I"

II.

(5 + a)'

(I - ol)e'"

(l-okTle"'f

(l-e'·T z ")'

1

TABLA 2-2

TEOREMASY PROPIEDAOES 'MPORTANTES DE LA TRANSFORMADA z

X(I)

0

x(k)

:: [x(t)J

0

Z[x(k)!

1.
2. 3. 4. 5.

ax (I) ax,(I) + bx,(t) X(I +

aX(.) aX,(,) ... bX,(z) ,X(,) - ulU) .' X(z) - z' x(O) - zx(T) .'X(z) - z'x(O) - all) z' X(z) - " x(O) - z' ­

n

or

x(k + 1)

X(I + 2T)
x(k + 2)

T)

6.

X(I + kT) X(I - kT)
x(n f- k) x(n - k)

- .­

x(T) - ... - a(kT ­

7.8.

, • X(z) " XCI) - 1'.1(0) - '·-'.l(l) - ... - u(k - 1) , • X(.)
d -TZ-X(l)

9.
10.

CX(I)
u(k)

dz

11.
12.
13.

d -z-X(z) dz

e-" X(I) e -0' x(k)
a'x(k) ka'x(k)

X(ze") X(ze
O )

14.
15.

x(~)
-z~X(~) d;: a
limX(z) sldlim,leeX'SIC
,-~

16.

x(U)
x(ce)
,-I

17.
18.
Vx(k) dx(k)

lim [(1 - z·')X(z)j If (1 - z ·')X(z) cs analillca sobre
y fuera delcirculo unHario

19.
20. 21.

= x(k) - x(k - 1) = x(k + 1) - x(k)
'-0

(1 - Z·')X(I) (z - I)X(z) - z.r(O)
I I -

I

.t(k)

,-I X(z)

- x(e, 0) aa
k~x(k)

a

-X(z,a) aa

a

22.

23. 24.

'-0
~

I

.
x(kT)y(nT ­ kT)

(-z~rX(Z)
X(z)Y(z) X(I)

'-0

2: x(~)

-

-'

Laplace Transform
F(s)

Time Function f(t), t> 0
b(t)

z-Transform
F(z)

Modifiedz-Transform
F(z. m)

o
~

e- tTs

b(t - kT)

l

z-t-I+",

s
S2

U'(l)
;:

z

z-1
Tz

(z-

W
+
I

--+-­
z ­

mT

T 1)2

I

(z _ 1)2

2
S3

t2
tt-I

T 2 z(z

I)

(z _ 1)3

T

2 m2 z2

+ (2m

- 2m 2

+ l)z + (m e -a"'T) . z ­ e­ a1

(z _ 1)3

(k - I)!
~

lim ( _ I)" a-O

I __ [ Z ] nat-I z _ e- aT

o-tz

lim ( _ 1)t a-O

I __at-I (

oak - I

1

e- at
z­
te-a' tke-ar

e-a",T e- aT a1· + m(z _ e- aT )] Te-a",T[e(z - e- aT )2

s+a
(.~

e- aT

z­

Tze- aT
(z ­ e- aT )2

+ all
+ a)k
a

(k - I)!

(s

(-I) oat

kat[ z _ ze- aT ]
z(1 :.- e- aT)

(_I)k_

oak.z_e- aT

Uk [ e-a",T ] .

s(s

+ 0)

I -e -al

(I - e-a",T)z

+ (e-a,"T

_ e- aT )

(2 -

I)(z _ raT)

(z -l}(z­

e -07)

3

\

Laplace Transform F(s)

Time Function f(t), t > 0

z-Transforrn F(z)

Modified z-Transform F(z, m)

(s

+ aXs + b)
a S2(S

-­

1

_1 (e_
(b - a)

O'

_

e- b ')

1 [ - .... T 1 [z z ] gT z_e- bT (b-a) (b-a) z-e­

z~e-OT-z~e-bT
amT - 1 e-o",T

-b",T ]

+ ~)
1
I

1 t ­ - (1a
-J

e-o~

Tz (z - 1)2

-

(1 - e-°T)z

--h

(s+ a)2
a

te-

O

'

:

a(z - 1Xz - e-°1) Tze- oT (z_e-· T)2 (aT ­ 2)T:
Z

---+
(z - 1)2

T

a(z - 1) a(z - e-°1)
Te-o..T[e- oT + m(z - e- oT )]
(z - e- oT )2

- T

+---­

S3(S

+ a)

~(t2_~t+~2 _2. e - o') 2

T 2;:
(z ­

2

a

a

a

W+

2 T2 ___ + T (m + l)a 2

2a(z - 1)2
Z

(z -

1)3
2

a(z - 1)2
1)

+ a2(z - 1) -a- ­ _ e - oT) 2(:...