Control digital

UIS Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Sistemas de Control Digital Problema No 1. Para el ejemplo 3.16 asumiendo k=4 y T=0.5 s, desarrolle un algoritmo en MATLAB que permita aplicar la reducción de fase para alcanzar la condición de estabilidad marginal. Se considera que se conecta en cascada un bloque de solo atraso como se observa en la figura:

Figura 1. Modelo con el bloque deatraso e-sTd La función de transferencia de mi modelo continuo es . Hacemos el análisis de

frecuencia en lazo abierto para mi modelo G(s) sin el bloque de atraso. Usando MATLAB : >> Gps=zpk([],[0 -1],1) Zero/pole/gain: 1 ------s (s+1) >> T=0.5; GHz=c2d(Gps*Hs,T) Zero/pole/gain: 0.10653 (z+0.8467) -----------------(z-1) (z-0.6065) Sampling time: 0.5 Obtenemos la función de transferencia de lazoabierto sin considerar aún la ganancia k. Ahora para calcular los valores marginales de la RDFLA usamos el comando margin() : >> k=4; [Kg, Mf,wf,wg]=margin(k*GHz)

Kg = 1.0905; Mf = 2.3291, wf = 1.9263, wg = 1.8390 Para calcular el valor de Td de mi bloque de atraso para alcanzar la estabilidad marginal se debe cumplir con la condición: < >> Td=(Mf*(pi/180))/wg Td = 0.0221 b. Con ayuda de MATLABobtenga el modelo del bloque de atraso, usando la aproximación de Padé de orden 2. Usando la aproximación de Pade podemos reemplazar ese bloque de atraso y de esta forma hacer el análisis más sencillo: >> [nunatraso,denatraso]=pade(Td,2); >> At=tf(nunatraso,denatraso); >> At Transfer function: s^2 - 271.4 s + 2.456e004 ------------------------s^2 + 271.4 s + 2.456e004 c. Obtenga el modelo discretoincluyendo el bloque de atraso: >> GHznuevo=c2d(Gps*Hs*At,T) Zero/pole/gain: 0.097983 z (z+1.005) (z+0.001516) --------------------------------z^2 (z-1) (z-0.6065) Sampling time: 0.5
∗

Luego

∗

d. Obtenga los valores marginales de la RDFLA para verificar la condición de estabilidad marginal. Calculando nuevamente los valores marginales: >> [Kgnuevo,Mfnuevo,wfnuevo,wgnuevo]=margin(k*GHznuevo) Kgnuevo=0.9959, Mfnuevo=-0.1241, wfnuevo=1.8336, wgnuevo=1.8378 Gráficamente mediante bode podemos observar los valores marginales:

Bode Diagram 100 System: untitled1 Gain Margin (dB): -0.0357 At frequency (rad/sec): 1.83 Closed Loop Stable? No

50 Magnitude (dB) Phase (deg)

0

-50

-100 -90 -180 -270 -360 -450 10
-2

System: untitled1 Phase Margin (deg): -0.124 Delay Margin(samples): 6.84 At frequency (rad/sec): 1.84 Closed Loop Stable? No

10

-1

10 Frequency (rad/sec)

0

10

1

Figura 2. Respuesta de frecuencia en lazo abierto incluyendo el bloque de atraso Se observa que el sistema está en la estabilidad marginal. De hecho MATLAB nos advierte que el sistema es inestable. Anexo código punto 1
clc; clear all; close all; Gps=zpk([],[0 -1],1)Hs=tf(1,1) T=0.5; GHz=c2d(Gps*Hs,T) k=4; [Kg, Mf,wf,wg]=margin(k*GHz) % figure, bode(k*GHz)

Td=(Mf*(pi/180))/wg; [nunatraso,denatraso]=pade(Td,2); At=tf(nunatraso,denatraso); % % %el modelo total discreto GHznuevo=c2d(Gps*Hs*At,T) [Kgnuevo, Mfnuevo,wfnuevo,wgnuevo]=margin(k*GHznuevo) figure,bode(k*GHznuevo);

Problema No 2. a. Aplicando la fórmula de Mason se demuestra que el sistema anterior puedereducirse al diagrama mostrado a continuación:

Figura 3. Sistema reducido por Mason. El sistema se puede reducir al modelo mostrado en la figura 3, aplicando el principio de superposición. b. Obtenga las expresiones analíticas para TN(z) y TR(z) asumiendo los modelos. Se aplica la fórmula de ganancia de Mason de tal forma que se obtenga la función de transferencia de lazo cerrado TR(z) yTN(z).

1

1

c. Para ki=0.5, en un mismo gráfico, obtenga las respuestas Yr(z) y Yn(z) para entradas R(z) y N(z) escalón unitario.

Asumimos ki=0.5 entonces:

>> T=0.04; ki=0.5; >> Dz=tf([ki*T 0],[1 -1],T)

Transfer function: 0.02 z -----z-1 Sampling time: 0.04

>> Hz=tf([0.55],[1 -0.45],T) Transfer function: 0.55 -------z - 0.45 Sampling time: 0.04

>> Gz=tf([0.0031 0.003],[1 -1.9...