Control Digital

1.

Sistemas lineales
(Teor´ de control moderna)
ıa

Objetivo
Proporcionar los conocimientos basicos para analizar y dise˜ar sistemas de control utin
lizando el enfoque de variables de estado.

Introducci´n
o
En general, el objetivo de un ”sistema de control”consiste en controlar las salidas ”y ”
de una manera predeterminada, por medio de las entradas ”u” (se˜ales de control).
n
Lanecesidad de afrontar casa vez m´s requisitos del comportamiento de sistemas de cona
trol, al aumento en su complejidad (m´ltiples entradas y m´ltiples salidas y ser variables
u
u
en el tiempo) y al f´cil acceso a computadoras, la teor´ de control moderna, que es un
a
ıa
nuevo procedimiento para el an´lisis y dise˜o de sistemas de control complejos en el dominio
a
n
del tiempo, se hadesarrollado desde los 60t’s y esta basada en el concepto de estado de un
sistema.

•
•
•
•

Teor´ de Control Moderna
ıa
Sistemas lineales y no lineales
sistemas variantes e invariantes
en el tiempo
Sistemas de m´ltiples entradas y
u
m´ltiples salidas (MIMO)
u
Procedimiento en el dominio del
tiempo

versus Teor´ de Control Cl´sica.
ıa
a
•
Sistemas lineales
Sistemas linealesinvariantes en el
•
tiempo
Sistemas de una entrada una sal•
ida (SISO)
Opera en el dominio de las fre•
cuencias complejas

Un gran grupo de sistemas y fen´menos de ingenier´ se formulan de manera muy cono
ıa
veniente en termino de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo una red el´ctrica RLC en serie
e
puede presentarse mediante la ecuaci´n integro diferencial.
o

1

1ro Modeladov (t) = Ri(t) + L

di(t)
1
+
dt
C

i(t)dt

dq
dt
d2 q
dq
1
v (t) = L
+R + q
dt
dt C
i(t) =

2do Cambio de variable (Igual al orden del sistema)
x1 (t) = q (t)
x2 (t) = q (t) =
˙

dq
= i(t)
dt

3er Derivar el cambio de variable
x1 (t) = q (t) = x2 (t)
˙
˙

(1)

d2 q
di(t)
=
2
dt
dt
Sustituir el cambio de variable y se derivada en el modelo
x2 (t) = q (t)=
˙
¨

4to

v (t) = Lx2 (t) + Rx2 (t) +
˙

x2 (t) = −
˙

1
x1 (t)
C

1
R
1
x1 (t) − x2 (t) − v (t)
LC
L
L

(2)

Se obtienen dos ecuaciones diferenciales de primer orden
x1 (t) = x2 (t)
˙
1
R
1
x2 (t) = −
˙
x1 (t) − x2 (t) − v (t)
LC
L
L
En forma matricial
x1 (t)
˙
x2 (t)
˙

=

0
1
1
− LC − R
L

x1 (t)
x2 (t)

A

x(t) =
˙

x(t)Definiendo una salida
y (t) := x2 =

01

x1 (t)
x2 (t)

C
x(t)

2

+

0
1
L
B

u(t)

Entonces la ecuaci´n en forma matricial general
o
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
y (t) = Cx(t) + Du(t)
Donde:
A
B
C
D

Es la matriz del sistema.
Es la matriz de entrada.
Matriz de salida.
Matriz que relaciona la entrada con la salida.

A Rnxn ; B Rnxp ; C Rmxn ; D Rmxp ; X Rn ; U Rp
n := Ordendel sistema.
p := N´mero de entradas.
u
m := N´mero de salidas.
u
0x(t) := Estado del sistema.
Conclusi´n.
o
Toda ecuaci´n diferencial de orden ”n”puede descomponerse en ”n”ecuaciones diferenciales
o
de primer orden.
Efectuando el diagrama de simulaci´n para el circuito RLC, resulta:
o

3

Ahora la representaci´n en diagrama a bloques del sistema de control lineal continuo en
oel tiempo e invariante, representado en el espacio de estado.
x1 (t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
y (t) = Cx(t) + Du(t)

Definiciones
Definici´n [Ecuaci´n de estado]
o
o
En la teor´ de los sistemas de control, al sistema de ecuaciones diferenciales de primer
ıa
orden se le llama ecuaciones de estado y x1 , x2 , . . . xn son las variables de estado.
Definici´n [Estado]
o

El estado de un sistemadin´mico es el conjunto m´s peque˜o de variables (Denominado
a
a
n
variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en t = t0 ´ conjuntamente
o
con el conocimiento de la entrada u(t) para t ≥ t0 ´ [t0 , ∞], determinan completamente de
o
4

manera unica el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t ≥ t0 .
´
Nota: El concepto de estado es aplicable a:
Sistemas...