control diigital

SISTEMAS DE CONTROL II
´
Grupo de Investigaci on en Control Industrial-GICI
´
Area de Automatica

Profesores:
Jos´ Miguel Ram´rez S.
e
ı
Esteban Emilio Rosero Garc´
ıa

UNIVERSIDAD DEL VALLE
Escuela de Ingenier´ El´ ctrica y Electr´ nica
ıa e
o
Santiago de Cali
23 de octubre de 2007

Contenido
´
1. Estabilidad de sistemas din amicos
1.1. Definiciones de Estabilidad . . . .. . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada . .
1.1.2. Estabilidad Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto . . . . . . . .
1.3.1. Prueba de Estabilidad de Jury . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Estabilidad absoluta de Sistemas Discretoscon Routh
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

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10
10
11
14
17
17
21
26

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Estabilidad de sistemas dinamicos
Introducci´ n
o
Entre los muchos tipos de especificaciones de desempe˜ utilizadas para el
no
dise˜ o de un sistema de control, el requerimiento m´ simportante es que el sisn
a
tema sea estable; por lo general, un sistema inestable se considera in´util. Existen
muchas nociones de estabilidad, una de ellas es considerar que un sistema es estable si al aplicarle una entrada de magnitud finita, entonces la salida es tambi´en
finita.
Esta unidad trata las condiciones que se deben satisfacer para que los sistemas
lineales invariantes de una entrada yuna salida, sean estables. Para estos sistemas,
el requerimiento de establilidad se puede definir en t´erminos de los polos de la
funci´ n de transferencia en lazo cerrado.
o

Objetivo:
Determinar la estabilidad de los sistemas autom´
aticos de control estudiados.
´
(Objetivo de evaluaci on)

9

1.1. DEFINICIONES DE ESTABILIDAD

Contenidos
1.1.

Definiciones de Estabilidad1.1.1.

Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada

Se dice que un sistema lineal, invariante y monovariable, es estable de Entrada Limitada-Salida Acotada ELSA (en ingl´ BIBO, ‘Bounded Input - Bounded
es
Output’), si toda entrada acotada produce una salida acotada. Esta propiedad esta
muy asociada con la respuesta al impulso g(t) o g(k) del sistema; consideremos
el sistema de tiempocontinuo descrito por su funci´ n de transferencia:
o
R(s) → G(s) → C(s)
La condici´ n de estabilidad ELSA exige que si |r(t)| ≤ N < ∞ para t ≥ 0,
o
entonces |c(t)| ≤ M < ∞ para t ≥ 0.
A partir de la respuesta calculada v´ıa la integral de convoluci´ n:
o
∞

|c(t)| ≤

∞

|r(t − τ )||g(τ )|dτ ≤ N
0

|g(τ )|dτ ≤ M
0

se requiere que el area de la curva debajo de |g(τ )| debe serfinita; note que es
´
necesario que l´m g(t) → 0, para que el sistema continuo sea ELSA estable.
ı
t→∞

Para los sistemas lineales invariantes monovariables de tiempo discreto, la
definici´ n de estabilidad ELSA es la misma; un an´ lisis similar lleva a que se
o
a
debe cumplir la condici´ n:
o
∞

|g(k)| < ∞
0

lo cual exige que l´m g(k) → 0, para que el sistema discreto sea ELSA estable.ı
k→∞

Las condiciones anteriores en g(t) o g(k) permiten relacionar la estabilidad
ELSA con la ubicaci´ n de las ra´ces en los planos s o z respectivamente.
o
ı
1. Plano s: Polo(s) en el semiplano izquierdo, g(t) es acotada y decrece asint´ ticao
∞
mente l´m g(t) → 0; esto garantiza que 0 |g(τ )|dτ sea acotada, luego el
ı
t→∞
sistema es ESTABLE.
J. Ram´rez y E. Rosero
ı

10GICI

1.1. DEFINICIONES DE ESTABILIDAD

Plano z: Polo(s) dentro del c´ rculo unitario, g(k) es acotada y decrece asint´ ticaı
o
∞
mente l´m g(k) → 0; esto garantiza que 0 |g(k)| sea acotada, luego el
ı
k→∞

sistema es ESTABLE.
2. Plano s: Polo(s) en el semiplano derecho l´m g(t) → ∞, luego el sistema
ı
t→∞
no es estable ELSA; un sistema que no es estable ELSA, se define como...