Control ec. diferenciales

CONTROL 1 ECUACIONES DIFERENCIALES Ingenier´ Civil C´digo ıa o Primer Semestre 2005

Problema. Considere la ecuaci´n diferencial o dy 3y(1 − y) = · dx 3x + 1 a) Encuentre el dominio de laecuaci´n. o b) Encuentre las soluciones constantes. c) Encuentre la soluci´n general en forma impl´ o ıcita. d) Encuentre la soluci´n general en forma expl´ o ıcita. e) Encuentre la soluci´n particular queverifica y(−3) = 2 · o Soluci´n. o a) El dominio es D = {(x, y) : x = − 1 }. 3

b) Como x = − 1 y 3 3y(1 − y) = 0 ⇐⇒ y = 0 y y = 1, tenemos cuatro soluciones constantes, que son 1 u1 , u2 : ] − ∞,− [ → 3 definidas por u1 (x) = 0 y u2 (x) = y 1 u3 , u4 : ] − , +∞[ → 3 definidas por u3 (x) = 0 y u4 (x) =

R 1, R 1·

c) Para y distinto de 0 y de 1, separamos variables obteniendo dy 3dx = , y(1− y) 3x + 1 es decir dy dy 3dx + = · y 1−y 3x + 1 Integrando obtenemos y ln | | = ln(| 3x + 1 |) + ln(c) . 1−y Luego la soluci´n general en forma impl´ o ıcita es y = c (3x + 1) , c ∈ R . 1−y d)Despejando y obtenemos y(x) = c (3x + 1) · 1 + c (3x + 1)
1

Observando la expresi´n anterior vemos que el denominador 1 + c (3x + 1) o 1 se anula solo si c = 0 y para x = x(c) = − 3c − 1 . 3
1 Comox(c) > − 1 para todo c < 0 y x(c) < − 3 para todo c > 0, tenemos las 3 siguientes soluciones: 1 i) Para c < 0 tenemos yc,1 : ] − ∞, − 1 [ → R , yc,2 : ] − 3 , x(c)[ → R , 3 c (3x+1) yc,3 : ]x(c),∞[ → R definidas por yc,i (x) = 1+c (3x+1) para i = 1, 2, 3.

ii) Para c > 0 tenemos yc,1 : ] − ∞, x(c)[ → R , yc,2 : ]x(c), − 1 [ → R , 3 c (3x+1) yc,3 : ]− 1 , ∞[ → R definidas por yc,i (x) = 1+c(3x+1) para i = 1, 2, 3. 3 iii) Las soluci´n constantes u1 , u2 : ] − ∞, − 1 [ → R y u3 , u4 : ] − o 3 1 , +∞[ → R , definidas por u1 (x) = u2 (x) = 0 y u3 (x) = u4 (x) = 3 1· e) Tenemos c (−9 + 1) −8c= · 1 + c (−9 + 1) 1 − 8c Adem´s a −8c 1 = 2 ⇐⇒ −8c = 2 − 16c ⇐⇒ c = · 1 − 8c 4 1 5 1 Entonces como x 4 = − 3 < − 3 , nuestra soluci´n es o 3x + 1 5 · u : ] − ∞, − [ → R , u(x) = 3 5 + 3x...