CONTROL GEOM TRICO

CHAPTER 1

Subespacios Invariantes
1. Subespacios A-invariantes
Considere el subsistema (A; L; E) del sistema descrito por (1.1). y reescrito a
continuación:
(1.1)

x_ (t) = Ax (t) + Lq (t) ;
z (t) = Ex (t) ;

Se desea veri…car si la salida z (t) es insensible a la entrada q (t), i.e., si Z(s)=Q(s) =
0. Una condición necesaria y obvia es que EL = 0; lo que en términos geométricos
es equivalente apedir que
Im L ker E:
Esta seria una condición necesaria y su…ciente en el caso de un sistema puramente
estático:
x (t) = Lq (t) ;
(1.2)
z (t) = Ex (t) ;
Para el caso del sistema dinámico, una condición necesaria y sufuciente es
que todas las trayectorias de estado que pueden "generarse" desde la entrada q(t)
(subespacio controlable hA j Im Li) quede dentro de lo que "no se ve" cuando sale
por lamatriz E, es decir que
hA j Im Li

ker E:

Una manera equivalente (y dual) de plantear la misma situación es pedir que
lo que entra por la matriz L quede dentro del estado que "es invisible" a la salida
z(t) (subespacio inobservable hker E j Ai), es decir,
Im L

hker E j Ai :

En lenguaje coloquial podemos decir que lo que se esta pidiendo es la existencia
de un subespacio T "contenedor "de lastrayectorias generadas a su interior que se
ubique entre Im L y ker E: Tal subespacio T debe contener lo que se conoce como
propiedad de invariancia, esto es, debe ser tal que AT
T . Entones, una condición
necesaria y su…ciente para el desacoplamiento es que exista un subespacio T con la
propiedad de A invariancia (i.e. tal que AT
T ) satisfaciendo la relación
Im L

T

ker E:

De…nición: Dada laaplicación A : X ! X , el subespacio T
X es llamado
A-invariante si satisface AT
T.
En terminos de desacoplamiento de la perturbación, podemos resumir con el
siguiente Lema:
Lema:: Las siguientes expresiones son equivalentes.
5

6

1. SUBESPACIOS INVARIANTES

(1)
(2)
(3)
(4)

Z(s)=Q(s) = 0:
hA j Im Li ker E
Im L hker E j Ai
Existe un subespacio T , A invariante (i.e. tal que AT
que:
Im L T
ker E:T ) tal

En terminos de trayectorias, un subespacio es A-invariante si y solo si, partiendo de cualquier estado inicial perteneciente al subespacio, el estado evoluciona
siguiendo una trayectoria completamente contenida en el interior del propio subespacio. Se puede considerar entonces que los subespacios invariantes sirven como
"envolturas" que permiten contener las trayectorias de estado. No esmuy di…cil
ver que tanto hA j Im Li como hker E j Ai son subespacios A-invariantes. De hecho,
hA j Im Li es el mínimo A-invariante conteniendo a Im L y hker E j Ai es el máximo
A-invariante contenido en ker E.
El siguiente ejemplo permite interpretar las propiedades de los subespacios Ainvariantes en términos de trayectorias de estado.
8
1 0
0
<
x_ (t) =
x (t) +
q (t) ;
1 2
1
Ejemplo: Sea elsistema
:
z (t) = 1 0 x (t) ;
Es fácil comprobar que
(1) Z(s)=Q(s) = E(sI A) 1 L = 0:
0
0
(2) hA j Im Li =
ker E =
1
1
0
0
(3) Im L =
hker L j Ai =
1
1
0
(4) Es fácil comprobar que el subespacio T =
satisface la relación
1
AT
T , es decir, se trata de un subespacio A-invariante. Como
adicionalmente el subespacio satisface la relación Im L T ker E;
entonces cualquier trayectoria de estado iniciadadentro de la imágen
de L permanecerá dentro del subespacio T , mismo que a su vez se
encuentra dentro de "lo que no se ve”a la salida (T ker E): Esto es,
cualquier trayectoria de estado originada por la señal de entrada q(t)
será desacoplada a la salida z(t): Observe que no ha sido utilizada
ninguna ación de control. La existencia de un subespacio A-invariante
satisfaciendo la relación Im D T ker E esentonces una condición
necesaria y su…ciente para que la relación Z(s)=Q(s) = 0 sea satisfecha (la peturbación ya se encuentra desacoplada, sin necesidad de
usar acción de control).
8
1 1
1
0
<
x_ (t) =
x (t) +
q (t) +
u (t) ;
3 2
0
1
Ejemplo: Sea el sistema
:
z (t) = 0 1 x (t) ;
Determinar si existe una acción de control u(t) = F (t) (retro de
estados) que desacople la perturbación (i.e....