Control I_13 10 2014_ 1

´
FUNDAMENTOS MATEMATICOS
I
CONTROL BLOQUE I
( 13 de octubre de 2014)
Ejercicio 1 (Puntuaci´
on: 5 puntos. Cada apartado vale 1 punto)
Sean



1 −1 2 1
s

 0
 r
1
1
1

A=
y
b=
 2
 −2
2 7 7 
1 −1 2 1
1






(1.1) Calcular det(A).
(1.2) Calcular rango(A).
(1.3) ¿Es invertible la matriz A? En caso afirmativo, calcular su matriz inversa.
(1.4) Resolver el sistema homog´eneo cuyamatriz de coeficientes es A.
(1.5) Clasificar, en funci´
on de los par´
ametros r y s el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y
resolverlo cuando el sistema sea compatible.

on: (2.1) 4 puntos, (2.2) 0.5 puntos, (2.3) 0.5 puntos)
Ejercicio 2 (Puntuaci´
Dada la siguiente red de flujos

(2.1) Calcula los posibles flujos que circulan por la red.
(2.2) Si se hacen obras de reparaci´
on de la red en elcanal f5 ¿Cu´
ales son los nuevos flujos de la
red?
(2.3) ¿Pueden hacerse obras de reparaci´
on en los canales f4 y f5 a la vez? Justificar la respuesta.

.

Ejercicio 3 (Puntuaci´
on: 5 puntos. Cada apartado vale 1 punto)
Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:
(3.1) Si A es una matriz invertible que verifica la igualdad AX = B, entonces X = BA−1 .
(3.2) Si A y B son matricesde tama˜
no 2 × 3 y 3 × 2, respectivamente, tales que AB es invertible,
entonces (AB)−1 = B −1 A−1 .
(3.3) Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo tama˜
no, entonces (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
(3.4) Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b que tiene m´
as ecuaciones que inc´
ognitas es siempre
compatible.
(3.5) Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b que tiene menos ecuaciones que inc´ognitas es
siempre compatible indeterminado.

Ejercicio 4 (Puntuaci´
on: 5 puntos. Cada apartado vale 1 punto)
Sea A una matriz de tama˜
no 3 × 3, se pide
(4.1) Si A verifica la relaci´
on A3 = n2 A ¿Cu´
anto vale det(A)?
(4.2) Si A verifica la relaci´
on A3 − A2 + 2I = O ¿Es invertible? En caso afirmativo decir cu´
al es
la matriz inversa.
(4.3) Supongamos que rango(A) = 3.
(4.3.1) ¿Es invertible lamatriz A? Justificar la respuesta.
(4.3.2) Sea B la matriz obtenida al quitarle a A una fila o una columna ¿cu´
ales son los posibles
valores de rango(B)? Justificar la respuesta.
(4.3.3) Sea C la matriz obtenida al quitarle a A una fila y una columna ¿el rango de la matriz
C es siempre 2? Justificar la respuesta.

2

´ DEL CONTROL BLOQUE I
SOLUCION
( 13 de octubre de 2014)

Ejercicio 1(Puntuaci´on: 5 puntos. Cada apartado vale 1 punto)
Sean



1 −1 2 1
s

 r
 0
1
1
1

A=
y
b=
 2
 −2
2 7 7 
1 −1 2 1
1






(1.1) Calcular det(A).
(1.2) Calcular rango(A).
(1.3) ¿Es invertible la matriz A? En caso afirmativo, calcular su matriz inversa.
(1.4) Resolver el sistema homog´eneo cuya matriz de coeficientes es A.
(1.5) Clasificar, en funci´on de los par´ametros r y s el sistema deecuaciones lineales Ax = b y
resolverlo cuando el sistema sea compatible.
Soluci´
on:
(1.1) Operando con las filas de la matriz A tenemos,


1 −1 2 1
 0
1 1 1 
 F −F →F
A=
 2
2 7 7  −−4−−−−1−−−−→4
1 −1 2 1




1 −1 2 1
 0
1 1 1 

 = A1
 2
2 7 7 
0
0 0 0

Por tener A1 una fila de ceros y teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes se verifica
que
det(A) = det(A1 ) = 0.Para responder a las siguientes preguntas primero vamos a realizar operaciones elementales sobre
las filas de la matriz [A b] hasta llegar a la forma escalonada de la matriz de coeficientes,




1 −1 2 1
s
1 −1 2 1
s
 0


1 1 1
r 
1 1 1
r
 F3 − 2F1 → F3  0
 F − 4F −→ F
[A b] = 
 2
 0
2 7 7 −2  F4 − F1 → F4
4 3 5 −2 − 2s  −−3−−−−−2−−−−−→3
−−−−−−−−−−−−→
1 −1 2 1
1
0
0 0 0
1−s




1−1 2
1
s
s
1 −1
2 1



 0
1
1 1
r
1
1
r

 −F3 −→ F3  0 1

 0
0 −1 1 −2 − 2s − 4r  −−−−−−−−→  0 0
1 −1 2 + 2s + 4r 
0
0
0 0
1−s
0 0
0
0
1−s
A partir de aqu´ı tenemos:

3

(1.2) Como la forma escalonada de la matriz A es


1 −1
 0 1

 0 0
0 0

2
1
1
0


1
1 

−1 
0

=⇒

rango(A) = no de unos principales de la f.e. = 3

−
→
(1.3) Para resolver el sistema homog´eneo asociado Ax...