control mat023 2013-2

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Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a
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Departamento de Matematica

MAT023
2do semestre 2013
Pauta control 1: 16 de octubre

1. Suponga que un tanque cil´ndrico recto con radio de labase 1 metro y altura 4 metros tiene
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2
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inicialmente 2 litros de agua pura. Una solucion de salmuera se bombea hacia el tanque a
una rapidez de 1 +

1
1+t

´
litros por minuto, laconcentracion de sal en el flujo de entrada es

1
2

´
de kilogramo por litro. La solucion en el tanque es homog´ nea y se extrae a
e
minuto. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando estese llena.
Desarrollo: Sea x (t) la cantidad de sal en el tanque en minuto t entonces
dx
= (Sal que entra por minuto) - (Sal que sale por minuto)
dt
notemos que
Sal que entra por minuto

=
=lt
1 kg
1
1+t
min 2 lt
kg
1
1+
1+t
min

1+
1
2

y
lt
min

1
1+t

Sal que sale por minuto =

1
(1 + t) (2 + t)

=

x (t)
2+t
x (t)

kg
lt
kg
min

se sigue
dx
dtx (0)

=
=

1
2
0

1+

1
1+t

1
(1 + t) (2 + t)

−

x

se trata de un problema de valores iniciales con E.D.O lineal de primer orden.
Resolvemos aplicando la t´ cnica delfactor integrante
e
dt
(1+t)(2+t)

µ (t) = e
as´
ı

d
dt

t+1
x
t+2

=

1
2

1+

=

t+1
t+2

1
1+t

t+1
t+2

se sigue
t+1
t
x= +K
t+2
2
as´
ı
x (t) =

t
2t+2
t+1

+K

como x (0) = 0 se sigue
K=0
y as´
ı
x (t) =

t
2

t+2
t+1

t+2
t+1

=

1
2

1
1+t

litros por

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Universidad Tecnica Federico Santa Mar´a
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Departamentode Matematica

es la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t. La cantidad de litros de agua en el tanque es
l (t) = 2 + t
la cantidad de litros de capacidad del tanque es
V

2

1
2

=π

4 metros3

=

π m3

=

103 π litros

los cuales se logran a
t = 103 π − 2 minutos
y en la cantidad de sal es
x 103 π − 2

=
≈

103 π − 2
2
1570. 3 kg

103 π
103 π − 1...