CONTROL MATRICES BAT 2015

Departament de MATEMÀTIQUES
Àrea de Matemàtiques CC SS II

EXAMEN DE MATRIUS

Elx, 7 d'octubre de 2015

Cada falta de ortografía o de acentuación se penalizará con 0'1 puntos, hasta un máximo de 1 punto. También se tendrá en cuenta la
estructura, coherencia y exactitud de los términos matemáticos empleados.
La incorrecta o nula justificación restará un tercio del valor del ejerciciocorrespondiente.

NOM:......................................................................

Nivell: 2n C BAT

Cada ejercicio ha de estar debidamente justificado; indicando los
pasos y operaciones a realizar para su correcta resolución.

( )

1 2
A= 0 1
1 2
Determine, si existe, la matriz X que verifique:

1.-

(3'3 puntos)

Dadas las matrices

2.- (3'3 puntos) Sabiendo que:

(

0
0 1 y
−1 2 0
C=
2 ; B=
1 0
11 2
1
AXB =Ct . Siendo Ct la matriz traspuesta de C

2 A+ 3 B= 2 10 18
1 5 9

( )

)

(

(

y 2 B−A= −1 2 5
3 8 13

)

) . Determine las

matrices A y B.

3.-(1'7 puntos) a) Dada la matriz

A=

(10 11)

; Calcule el resultado de

1 −1 2
3
2
−2
4
6
(1'7 puntos) b) Determine el rango de la matriz C=
−1 1 −2 −3
5
3
0 −2

(

70

A −3 A

)

20

SOLUCIONES:
EJERCICIO 1
1.- Despejamos la matriz que nossolicitan; teniendo cuidado de multiplicar por la inversa según el
lado que corresponda.
−1
−1
−1
t
−1
−1
t
−1
A · AXB· B =A · C · B →
X =A · C · B
2.- Procedemos a realizar las operaciones necesarias para su cálculo
a) Hallamos Ct

( )

−1 1
Ct = 2 1
0 2

b) Calculamos la inversa de B ; sabiendo que B· B−1=I 2
0 1
x a
1 0
y b
1 0
y=1 ; x=0 ; b=0 ; a=1
·
=
→
=
→
1 0
y b
0 1
x a
0 1

( ) ( ) ( ) ()( )
B−1 =

Por lo que :

0 1
1 0

( )

adj( A t )
c) Hallamos la matriz inversa de A. A =
| A|
c.1- Calculamos el valor del determinante de A, para comprobar si existe su
inversa, ya que su valor ha de ser distinto de 0.
1 2 0
| A|= 0 1 2 =1+ 4+0−0−4−0=1≠0→∃ A−1
1 2 1
c.2 - Hallamos A t
1 0 1
At= 2 1 2
0 2 1
c.3 – Determinamos la matriz de adjuntos de la matriz traspuesta de A
−1

| |

( )

(

|| | || |
| || | | |
| | | | | |
1 2
2 1

Adj( A )= − 0
2
0
1
t

1
1
1
2

−

2 2
0 1

1
0
1
−
2

1
1
1
2

2 1
0 2
1
0
1
2

−

)

0 =
2
0
1

(

−3 −2 4
2
1 −2
−1 0
1

)

c.4 – Finalmente determinamos el valor de la inversa de A.

(

)

−3 −2 4
2
1 −2
t
−1
0
1
adj ( A )
a−1=
=
=
1
| A|

(

−3 −2 4
2
1 −2
−1 0
1

)

3.- Para hallar la matriz pedida, efectuamos las operaciones indicadas tas eldespeje.
−1
t
−1
X =A · C · B
a)Realizamos en primer lugar el producto: A −1 · C t
−3 −2 4
−1 1
−1 3
−1
t
·
=
A ·C =
2
1 −2
2 1
0 −1
−1 0
1
0 2
1
1
−1
t
−1
b) Efectuamos ahora el producto: ( A ·C )· B
−1 3
3 −1
0 1=
−1
t
−1
·
( A ·C )· B =
0 −1
−1 0
1 0
1
1
1
1

(

) ( ) ( )

( )

La matriz X es:

( )

( )

( )

3 −1
X = −1 0
1
1

EJERCICIO 2
1.- Planteamos un sistema con ambas ecuaciones matriciales:{
{

(

2 A+3 B= 2
1
2 B− A= −1
3

(

)
)

10 18
5 9
2 5
8 13

}

2.- Si multiplicamos la segunda ecuación por 2, y sumamos miembro a miembro, tendremos:

(
(

)

(

)

2 A+ 3 B= 2 10 18
1 5 9
−2 A + 4 B= −2 4 10
6 16 26

)

}
1
B= · 0 14 28 →
7 7 21 35

(

7 B= 0 14 28 →
7 21 35

)

(

)

B= 0 2 4
1 3 5
3.- Para hallar A, despejamos en la 2ª ecuación matricial: A=2 B− −1 2 5
3 8 13
su valor:
23
A= 0 4 8 − −1 2 5 →
A= 1
2 6 10
3 8 13
−1 −2 −3

(

(

)(

Las matrices son:

)

A=

(

(

) , y calculamos

)

1
2
3
−1 −2 −3

)

y

B=

(

0 2 4
1 3 5

)

EJERCICIO 3 a)
1.- Para realizar los cálculos, hemos de hallar cómo varían las distintas potencias de la matriz A.
A= 1 1
0 1
2
1 1
1 1
1 2
A =
·
=
0 1
0 1
0 1
A 3= 1 2
· 1 1
=1 3
0 1
0 1
0 1
4
1 3
1 1
1 4
A =
·
=
0 1
0 1
0 1
A 5= 1 4
· 1 1=1 5
0 1
0 1
0 1
2.- Vemos el patrón seguido por las distintas potencias de A; por tanto:
70
1 70 y
20
1 20
3 60
A =
3 · A =3·
=
0 1
0 1
0 3

(
(
(
(
(

(

3.-

)
)
)
)
)

(
(
(
(

)
)
)
)

)

(
(
(
(

)
)
)
)

(

)(

)

Realizamos el cálculo de:
70

A −3 A

20

(

)(

(

−2 −10
)
0 −2

= 1 70 − 3 60 =
0 1
0 3

)

EJERCICIO 3 b)
1 −1 2
3
2
−2
4
6
Para el rango de C=
−1 1 −2 −3
5
3
0 −2
1.-...