Control Moderno

Capítulo 10 Control Óptimo

10.1. Criterio de Estabilidad de Lyapunov El criterio de estabilidad de Lyapunov es un método que prueba la estabilidad de un sistema. Este implica encontrar una función llamada de Lyapunov, para un sistema. Si tal función existe, entonces el sistema es estable. Según lo demostrado por Aleksandr Lyapunov, “Todo sistema que se encuentra entregando energía, es unsistema estable”. La definición es muy sencilla. En otras palabras, cuando un sistema solamente consume energía, llega un momento en que ésta se acaba y el sistema para, por lo tanto, llega a un estado de equilibrio o reposo. Matemáticamente se demuestra, buscando una función que represente la “energía” del sistema, y si la derivada de ella es negativa, el sistema es estable. Para ello, se debencumplir algunas características de cada una de las funciones, tanto de la original, como de la derivada. Para ello vamos a definir las características necesarias. 10.1.1. Función Definida Positiva: Una función escalar, de una posible variable vectorial, f ( x ) , se dice que es definida positiva si: i. ii.

f ( x ) ≥ 0 , para todo x. f ( x ) = 0 , si y solo si x = 0.

Enfoque Práctico del ControlModerno
2 Ejemplo E.10.1: Probar si la función f ( x ) = 1000 x12 + 100 x 2 es definida positiva.

Solución: 1. Para cualquier valor de x1 que sea diferente de 0, 1000 x12 > 0 . 2 Para cualquier valor de x 2 que sea diferente de 0, 100 x 2 > 0 . Teniendo en cuenta a (a) y (b), para cualquier valor de x1 y x 2 , diferente de 0,
2 1000 x12 + 100 x 2 > 0 . 2 Para x1 = x 2 = 0 , 1000 x12 + 100 x 2= 0 .

2. 3.
4.

2 Dado que se cumplen las condiciones (i) y (ii), la función f ( x ) = 1000 x12 + 100 x 2 es

Definida Positiva.

⎡x ⎤ ⎡1000 0 ⎤ Ejemplo E.10.2: Dada la función f ( x ) = x T Qx , donde x = ⎢ 1 ⎥ y Q = ⎢ . 100⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣ x2 ⎦ Determinar si la función es definida positiva.
Solución: Si evaluamos la matriz y la variable vectorial en la función, tenemos: f ( x ) = [x1
f ( x)⎡1000 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x 2 ]⎢ 100⎥ ⎢ x 2 ⎥ ⎣ 0 ⎦⎣ ⎦ 2 2 = 1000 x1 + 100 x 2

Y dada la demostración del ejemplo E.10.1, la función es definida positiva. Es interesante observar que solamente algunas matrices condicionarán a que el sistema sea definido positivo. Del mismo modo, se verifica que una función f ( x ) es definida negativa si f ( x ) = − g ( x ) , siendo g ( x ) una matriz definidapositiva.
10.1.2. Matriz Definida Positiva: Una matriz simétrica de n x n Q = QT se le denomina definida positiva, si para todo x∈ ℜ , f ( x ) = x T Qx es una función definida positiva.

Toda matriz definida positiva debe cumplir con las siguientes propiedades: 1. 2. 3. Todos los valores propios de una matriz definida positiva son reales. Todos los valores propios de una matriz definida positiva sonpositivos. Los valores propios de una matriz definida positiva son ortogonales. A consecuencia de esto es que existe una matriz unitaria U, tal que Λ=UTQU es una matriz diagonal con los valores propios de Q y donde UUT=UTU=I.

240

Capítulo 10 4. Una matriz definida positiva puede ser factorizada (factorización de Cholesky): Q=FTF para alguna (no única) matriz F.

De hecho, cualquiermatriz simétrica con todos los valores propios positivos es una matriz definida positiva.
10.1.3. Función de Lyapunov: Cualquier función escalar V( x ) será una función de

Lyapunov, siempre que satisfaga las dos condiciones siguientes: 1. 2.
V( x ) es una función definida positiva. & V( x ) es una función definida negativa.

Es así, que si ploteamos una función de Lyapunov como una función deltiempo, podremos ver que siempre es una función positiva con una derivada negativa. En & particular debe converger en un punto donde V( x ) = V( x ) = 0, cuando t→∞, pero V( x )
= 0 sólo cuando x = 0. Esto significa que el sistema que está en función del estado x debe tener su valor de convergencia en el origen. De esta manera se observa que la función de Lyapunov depende no sólo de la función...