Control multivariable

CONTROL MULTIVARIABLE, TAREA 1

Tarea 1 Control Multivariable
Antonio Morales C. Resumen - Este documento corresponde a la Tarea 1 de Control Multivariable dictada el segundo semestre del año 2011. Palabras Claves - Circulos M, avance(restraso) de fase, variable de estados, estabilidad, controlabilidad, observabilidad
Imaginary Axis Nyquist Diagram 2 2 dB 1.5 4 dB 1 6 dB -6 dB 10 dB 20 dB 0-10 dB -20 dB -4 dB 0 dB -2 dB

I. INTRODUCCION El siguiente documento presenta las soluciones encontradas para la primera tarea de este ramo, mediante álgebra matemática y programas de simulación. Problema 1: Utilizando el siguiente diagrama de control (fig.1) para el desarrollo de la tarea:

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2 -2

-1.5

-1

-0.5 Real Axis

0

0.5

1

Figura 1 Sean:= +1 +3

El sistema no alcanza a llegar al círculo = √2, más aún, tampoco toca el pto. −1 + 0, denotado en cruz roja. Entonces, el sistema es asintóticamente estable a lazo cerrado. Los márgenes de ganancia y fase para (4) se realizan mediante la instrucción “bode(num,den)” similar a la instrucción “nyquist”, dando como resultado: (1)
60 40 Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 -50 -60 Phase (deg) -70-80 -90 10
-2

Figura 2: Representación Nyquist

Bode Diagram

Darse un k y determinar si entra o no en el círculo también los márgenes de ganancia y de fase. Solución:

=1

= √2. Dar

(2)

Se inicia realizando un análisis de Nyquist a lazo abierto, representado por (3). Entonces, para un = 4, se obtiene (4): | | |= 4 +4 |= +3 +1 +3 (3)

10

-1

10

0

10

1

10

2Frequency (rad/sec)

(4)

Figura 3: Márgenes de Ganancia y Fase

Para esto se ha utilizado el programa MATLAB, el cual consiste en ingresar tanto el numerador y denominador, como vectores filas, y luego ejecutar la instrucción “nyquist(num,den)” propia de MATLAB:

Problema 2: Sea: = 1+ 1+

(5) que produce el máximo avance

T dada. Determinar el valor de (o retraso) de fase.

CONTROLMULTIVARIABLE, TAREA 1
Solución: Acorde al capítulo 1 del texto guía, la ecuación (5) es un compensador que se agrega al lazo realimentado cuando el sistema en lazo cerrado es inestable, o cuando los criterios de margen de estabilidad son insuficientes. El compensador • • • Proveerá adelanto de fase, para < 1. Proveerá atraso de fase, para > 1. El cambio de fase ocurrirá para = ecuación (6). = √1 : = 2 + +3 +2
)

=

, según la

El ancho de banda, se define como la frecuencia donde la respuesta en magnitud es -3[db]. Para el caso positivo, se utilizará = 7, y para el caso negativo, = −7
Bode Diagram 10 0 Magnitude (dB) -10 -20 -30 -40 0 System: sys Frequency (rad/sec): 4.52 Magnitude (dB): -3

2 +2 +5 +2

+

(15)

(16)

(6)

•

El valor del máximo cambio de fasees: √ = tan"# $ 1 1 −√ 2 √ % (7)
Phase (deg)

-45

La ecuación (7) se modifica y maximiza haciéndola tender a infinito, como se ve en (8), luego el cambio de fase ocurrirá cuando el denominador de (8) sea 0: tan"# $ 1 1 −√ 2 √ %= cos
# # sin"# ( * ) √+ "# # #

-90

A partir de (9) se realizan pasos algebraicos y despejo de variables, que finalizan en la expresión (11). Problema 3:Phase (deg)

= 2 34

1 1 −√ 2 √
)

Magnitude (dB)

cos"# $

1 1 −√ 2 √

( *

) √+

− √ ,-

-135 10
-1

10

0

10 Frequency (rad/sec)

1

− 235 34

= ±34
)

%=0

− √ ,-

→∞

(8)
0

Figura 4: Diagrama Bode para
Bode Diagram

, con

=7

10

2

(9)

-10 -20 -30 -40 -50 45

System: sys Frequency (rad/sec): 1.99 Magnitude (dB): -3

(10) (11)+1+1

0

-45

-90

Sean: =

10

-1

10

0

10

1

10

2

2

Comparar los valores de (ganancia, ancho de banda) para algún tanto positivo como negativo: Se realiza la función de Transferencia 6 también llamada función de sensibilidad : = 1+ Solución:

=1

+ +3

Frequency (rad/sec)

Figura 5: Diagrama Bode para (12) (13)

, con

De las figuras 4 y 5 se...