CONTROL OPTIMO Y CONTROL OPTIMO CONTINUO

Tarea: 2/3Parcial 08/02/2015
TEORIA DEL CONTROL ÓPTIMO
El control óptimo es una rama del control moderno que se relaciona con el diseño de controladores para sistemas dinámicos tal que se minimice una función de medición que se denomina índice de desempeño o costo del sistema.En términos más formales, su objetivo principal de la teoría de control ´optimo es determinar las señales de control que causan a un proceso el satisfacer las restricciones físicas que se tengan y asimismo minimizar o maximizar según sea el caso cierto criterio de desempeño deseado. La solución de algunos problemas de control no es posible obtenerla usando métodos de control clásicos. Esto puedeser ya sea debido a su complejidad, o que se requieran satisfacer ciertos parámetros relacionados con su desempeño. Un ejemplo típico de esto es el diseño de un sistema de control de altitud para una nave espacial que minimice el gasto de combustible.
El problema de control ´optimo se puede representar matemáticamente en las siguientes partes:
1. La descripción del proceso a controlar (modelo delsistema).
2. La descripción de las restricciones físicas.
3. La descripción del objetivo buscado.
4. La descripción de algún criterio para describir el desempeño óptimo (índice de desempeño).
Problema típico de control óptimo Como se ha mencionado, hay tres partes principales que se deben considerar en un problema de control óptimo. El modelo matemático del sistema dinámico, las restricciones alas que está sujeto el sistema, y el índice de desempeño que se desea evaluar. A continuación se estudia un problema particular analizando estas tres partes principales. Modelo Matemático Descripción matemática sencilla o simplificada de un sistema físico, que en forma adecuada describe la respuesta del sistema real a una o varias entradas. La siguiente es una representación de un modelo de unsistema dinámico como ecuaciones diferenciales en términos de variables de estado:
x˙(t) = f(x(t),u(t),t); x ∈ R n , u ∈ R m (1.1)
x˙ 1(t) = f1(x1(t),x2(t), · · · ,xn(t),u1(t),u2(t), · · · ,um(t),t) (1.2)
x˙ 2(t) = f1(x1(t),x2(t), · · · ,xn(t),u1(t),u2(t), · · · ,um(t),t) (1.3) . . . (1.4)
x˙ n(t) = f1(x1(t),x2(t), · · · ,xn(t),u1(t),u2(t), · · · ,um(t),t) (1.5)
Donde el vector de estados delsistema se define como:

A continuación se presenta un ejemplo típico de control ´optimo, el cual ilustra lo que representa una restricción y de forma similar el índice de desempeño.
Ejemplo 1.1.1. Un automóvil está inicialmente en reposo. Después del tiempo inicial, este se pone en movimiento en línea recta hasta detenerse a una distancia e. Para identificar y definir los elementos del sistema decontrol ´optimo, el problema se puede plantear de la siguiente manera:
Definir las variables del problema. Se sabe qué y(t) es la distancia o desplazamiento recorrido del auto desde 0 en el tiempo t. De los conocimientos básicos de física, es posible conocer que la derivada de la variable anterior y˙(t) = dy(t)/dt es la velocidad del auto en el tiempo actual t. Asimismo, la aceleración del auto serepresenta por la derivada de la velocidad, lo cual también es la segunda derivada del desplazamiento dy˙(t)/dt = ¨y(t) = d 2 y(t)/dt2 . Simplificando el modelo podemos representar el automóvil como una masa que puede acelerar o desacelerar utilizando el freno, lo cual se puede expresar por la siguiente ecuación diferencial:
¨d(t) = α(t) + β(t) (1.7)
donde α es la aceleración y β a ladesaceleración debido al frenado. Seleccionando variables de estado como posición y velocidad tenemos:
x1(t) = d(t) (1.8)
x2(t) = ˙d(t) (1.9)
y el control está dado como
u1(t) = α(t) (1.10)
u2(t) = β(t) (1.11)
de donde u1 y u2 representa la aceleraci´on y desaceleraci´on, respectivamente.
Las ecuaciones de estado
x˙ 1(t) = x2(t) (1.12)
x˙ 2(t) = u1(t) + u2(t) (1.13)
expresadas en forma matricial...