Control Optimo

Universidad del Rosario
Economía Matemática - 2013-I
Taller 9 - Control Óptimo
Ejercicio 1 (Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans con externalidades de contaminación.
Economía descentralizada)
Supongauna familia cuya utilidad está dada por
T

[U (c(t)) − V (y(t))] e−ρt dt + k(T )
o

donde U (c(t)) es la utilidad de la familia por consumir c(t) y V (y(t)) es la desutilidad que
genera lacontaminación asociada con la producción y(t). La restricción de presupuesto de
la familia es
.
k(t) = rk(t) − w − c(t)
¯
Los hogares escogen el nivel de consumo c(t) que maximiza el valor descontadode su utilidad. Dado que no existe un planificador central (pues la economía es descentralizada),
los hogares ignoran los efectos del capital k(t) en la producción y(t) (es decir que toman
y(t) = ydonde y es constante). Plantee y resuelva el problema de optimización de la familia
¯
¯
si U (c(t)) = ln c(t).
Ejercicio 2 (Parcial 2009-1 sobre 2.0 puntos) La OMS quiere fabricar vacunas contrala
gripe AH1N1. Lamentablemente esto reduce la producción de vacunas contra las otras
gripes. Queremos saber cuál es la producción óptima de vacunas durante el periodo t ∈ [0, 1].
La producción devacunas contra la gripe AH1N1 es vA (t), y contra las otras gripes es
vo (t). Normalizamos la capacidad de producción de vacunas a 1, es decir que tenemos:
vA (t) + vo (t) = 1
¯
La OMS decidecuántas vacunas producir maximizando los beneficios B(vA , vA ) y B(vo , vo )
˙
˙
¯ ˙
que las vacunas tienen en la población, menos los costos de producción C(vA ) y C(vo ).
˙
1. Sabemos que vA (t)debe ser positiva. Muestre que el problema de la OMS se puede
˙
escribir de la siguiente manera:

max 1 {B(v , w) + B(1 − v , −w) − C(w) − C(−w)}dt
¯
¯
A
A
0

s.a vA (t) = w(t) ≥ 0,
˙vA (0) = 0

¯
˙
˙
˙ ¯ ˙
˙
2. Tome B(v, v) = B(v, v) = v − 1 v 2 , C(v) = αv y C(v) = 2αv con α > 0. Muestre
˙
˙
2
que el Hamiltoniano del problema de la OMS es:
H(t, vA , p, w) = 1 − w2...