Control optimo

Condiciones de suficiencia en un problema de control óptimo
Problema de control óptimo
Se presenta un problema de control óptimo aplicado a la maximización del bienestar de una sociedad. Ese mismobienestar depende a su vez del crecimiento económico del país.

Hamiltoniano de valor presente:

Condiciones necesarias:

Condiciones de transversalidad:

Condiciones de suficiencia para losproblemas de control óptimo
Las condiciones de suficiencia, como en cualquier otro problema de optimización, aseguran el cumplimiento de las condiciones necesarias. Existen dos teoremas, el deMangasarian y el de 1 Arrow , de donde se derivan diferentes condiciones de suficiencia. Del teorema de Arrow se desprenden unas condiciones de suficiencia que son más generales que las que surgen delteorema de Mangasarian. Sin embargo, las condiciones de Arrow presentan el inconveniente de que no siempre es sencillo comprobar si las mismas se cumplen.

Teorema de Mangasarian
El teorema deMangasarian se puede enunciar de la siguiente manera. Teorema: Sean los resultados que se obtienen al aplicar el principio de máximo de Pontryagin, , al problema de control óptimo. Si se verifica que: a, dondees un conjunto convexo (reales positivos). bexiste y es continua. c- La función es continua y diferenciable. de- El Hamiltoniano de Valor Presente, , es cóncavo en k y en x. Entonces solucionan elproblema planteado. En particular, si es estrictamente cóncava la solución es única. Lo que se tiene que demostrar:

Lo que se necesita para demostrarlo: i- Definición de concavidad: ii- Condicionesnecesarias. iii- Condiciones de transversalidad.

Teorema de Arrow
El teorema de Arrow se puede enunciar de la siguiente manera. Teorema: Sean los resultados que se obtienen al aplicar el principiode máximo de Pontryagin, al problema de control óptimo. Si se verifica que: a- La función es continua y diferenciable. b- El Hamiltoniano de Valor Presente Derivado, , es cóncavo en para cada...