Control

III. Estabilidad de los sistemas de control
3.1 Análisis de estabilidad mediante el Método de Ruth-Horwitz y el lugar geométrico de las raíces.

Definición de estabilidad.- la estabilidad se puede dar en muchas formas diferen tes. Para propósitos de análisis y diseño, la estabilidad se puede calificar en estabilidad absoluta y estabilidad relativa. La estabilidad absoluta se refiere a lacondición de si el sistema es estable o inestable, es una repuesta de si o no, una vez que se ha encontrado que el sistema es estable, es interesante determinar que tan estable es, y este grado de estabilidad es una medida de la estabilidad relativa.
Antes de definir la estabilidad, se define los siguientes 2 tipos de respuestas de sistemas lineales invariantes en el tiempo.
1. Respuesta deestado cero. La respuesta de estado cero se debe a la entrada únicamente; todas las condiciones iniciales del sistema son cero.
2. Repuesta de entrada cero. La respuesta de entrada cero se debe a la condición inicial únicamente; y todas las entradas son cero.
Del principio de superposición, cuando un sistema está sujeto tanto a las entradas como a las condiciones iniciales, la respuesta total sedescribe como:

Respuesta total = repuesta de estado cero + respuesta de entrada cero

Para fines de diseño, existirán parámetros desconocidos o variables contenidos en la ecuación característica, y no se ría factible utilizar programas de búsqueda de raíces. Los métodos detallados a continuación son bien conocidos para determinar la estabilidad de sistemas lineales en tiempo continuo, sininvolucrar la solución de las raíces.
1.- Criterio de Routh-Hurwitz. Este criterio es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante con el tiempo que tiene una ecuación característica con coeficientes constantes. El criterio prueba si cualquiera de las raíces de la ecuación característica está en el semiplano derecho del plano s.también indica el número de raíces que están sobre el eje jw y en el semiplano derecho del plano.

2.- Criterio de Nyquist. Este criterio es un método semigráfico que provee información sobre la diferencia de números de polos y cero de la función de la transferencia en lazo cerrado que están en semiplano derecho del plano, s mediante la observación del comportamiento de la gráfica de Nyquist dela función de transferencia de lazo.

3.- Diagrama de Bode. Este diagrama es una gráfica de la magnitud de la función de transferencia de lazo G(jw)H(jw) en decibeles y de la fase de G(jw)H(jw) en grados, en función de la frecuencia w. la estabilidad del sistema en lazo cerrado se puede determinar al observar el comportamiento de estas gráficas.

Criterio de Routh-Hurwitz. Re presenta unmétodo para determinar la localización de los ceros de un polinomio con coeficientes constantes reales con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s, sin obtener los ceros.
Considere la ecuación características de un sistema lineal SISO e invariante con el tiempo es de la forma de:

F(s) = anSn + an-1Sn-1 + ….+ a1S + a0 = 0 Ec. 3.1

En donde todos los coeficientes sonreales. Para la Ec. 3.1 no tenga raíces con partes reales positiva, es necesario y suficiente que las siguientes condiciones se cumplan:
1.- Todos los coeficientes de la ecuación tienen el mismo signo.
2.- ninguno de los coeficientes es igual a cero.
Las condiciones antes mencionadas están basadas en las leyes de álgebra, que relacionan los coeficientes de la ecuación 3.1 como sigue
a n-1 / an= - ∑ todas las raíces Ec. 3.2

a n-2 / an = ∑ producto de las raíces tomando dos a la vez Ec. 3.3

a n-3 / an = -∑ producto de las raíces tomando tres a la vez Ec. 3.4
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.
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a0 / an = (-1) n producto de todas las raíces Ec. 3.5

por lo que todas estas relaciones deben ser positivas y no cero a menos que una de las raíces tenga una parte real positiva....