Control

4.4 ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL DE LAZO CERRADO (CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH).
4.4.1.- Introducción
Cualquier sistema físico se volverá inestable si alguno de los polos de lazo cerrado (raíces de la ecuación característica) se encuentran en el semiplano derecho del plano complejo s. La estabilidad de un sistema lineal en lazo cerrado se determina a partir de la ubicación de lospolos de lazo cerrado en el plano s. si alguno de los polos se encuentra en el semiplano derecho del plano s, entonces conforme aumenta el tiempo, producirá el modo dominante y la respuesta transitoria aumentará en forma monotónica u oscilara con amplitud creciente. Esto representa un sistema estable. Para tal sistema, tan pronto como se conecta la alimentación, la salida aumenta con el tiempo.Sino ocurre una saturación en el sistema y no se incluye una detención mecánica, el sistema puede terminar por dañarse y fallar, dado que la respuesta de un sistema físico real no puede aumentar indefinidamente. Si todos los polos de lazo cerrado se encuentran a la izquierda del eje jω, cualquier respuesta transitoria termina por alcanzar el equilibrio. Esto representa un sistema estable. El que unsistema lineal sea estable o inestable es una propiedad del sistema mismo y no depende de la entrada ni de la función de excitación del sistema. Los polos de la entrada, o de la función de excitación, no afectan la propiedad de estabilidad del sistema, sino solo contribuyen a los términos de respuesta en estado estable en la solución. Por lo tanto, el problema de estabilidad absoluta se solucionacon facilidad al no elegir polos de lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s, incluyendo el eje jω. La figura 4.4.1 nos muestra el plano complejo s, con las regiones de Estabilidad e Inestabilidad.
El hecho que todos los polos en lazo cerrado se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s no garantiza características satisfactorias de respuesta transitoria. Si los polos dominantescomplejos conjugados de lazo cerrado se encuentran cerca del eje jω, la respuesta transitoria exhibirá oscilaciones excesivas o será muy lenta.





4.4.2.- Objetivo de la práctica.
El objetivo de la práctica es encontrar la estabilidad de un sistema de control lineal. Es decir, ¿bajo qué condiciones se vuelve inestable un sistema?. Si es inestable, ¿Cómo se estabiliza?. En la secciónanterior se planteó que un sistema de control es estable si y solo si todos los polos de lazo cerrado quedan en el semiplano izquierdo del plano s. dado que casi todos los sistemas lineales de lazo cerrado tienen funciones de transferencia de lazo cerrado de la forma

En donde las a y las b son constantes y m≥ n, primero debemos factorizar el polinomio A(s) para encontrar los polos de lazo cerrado. Uncriterio simple, conocido como criterio de estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos de lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener que factorizar el polinomio. La figura 4.4.1 nos muestra el plano s, con las regiones de Estabilidad e Inestabilidad. Los polos que están cercanos al eje imaginario en el semiplano izquierdo dan crecimiento arespuestas transitorias que decaerán relativamente despacio, los polos que están lejos del eje corresponden a una respuesta de decaimiento rápido.

4.4.3.- Sistema de la práctica.
El sistema que se analiza en la práctica es un sistema con retroalimentación unitaria mostrado en la figura:

Figura 4.4.2 Sistema de Control con Retroalimentación Unitaria

Cuya función de transferencia de lazoabierto es:


La función de transferencia de lazo cerrado es:

La ecuación característica es: s3+3s2+2s+k
La estabilidad del sistema depende de la posición de las raíces de la ecuación característica en el plano complejo s. la posición de las raíces en el plano s depende del valor de k, para encontrar el rango de valores de k para los cuales el sistema es estable (todas las raíces de la...