control

3.1.2. Ejemplos de sistemas según su tipo

1.- Introducción al análisis temporal
Como primer paso del análisis de un sistema de control siempre es necesario calcular un modelo matemático del mismo. Deberemos tener en cuenta que en la práctica no conoceremos la señal de entrada al sistema de control, que por lo general será aleatoria.
La respuesta temporal es la evolución en el tiempo de unsistema cuando se le introduce una entrada. Está formada por dos componentes:
Respuesta transitoria: es la que va desde el estado inicial hasta el final.
Respuesta estacionaria: es la forma en la que la salida se comporta cuando t tiende a infinito.
      
A la hora de analizar y diseñar sistemas de control hay que tener una base de comparación del funcionamiento de los diversos sistemas. Paraello estableceremos como señales estándar de estudio las siguientes funciones:
Impulso.
Escalón.
Rampa.
Para el análisis del sistema, deberemos determinar la forma de las señales de entrada más frecuentes, para así saber cuál de estas funciones de prueba usar. Por ejemplo, si las entradas a un sistema son funciones gradualmente variables en el tiempo, una función rampa puede ser una buenafunción de prueba; sin embargo, si el sistema está sometido a perturbaciones bruscas, en este caso, sería mejor usar una función escalón.
Para el diseño del sistema, se debe poder predecir el comportamiento dinámico del sistema, cuya característica más importante es la estabilidad absoluta.
Un sistema está en equilibrio, si en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida se mantieneconstante.
Un sistema de control lineal invariante es estable, si finalmente la salida retorna a un estado de equilibrio cuando el sistema es sometido a una perturbación.
Un sistema de control lineal invariante es inestable, si la salida oscila indefinidamente o si la salida diverge sin límite de su estado de equilibrio cuando sometemos al sistema a una perturbación.
Los sistemas reales decontrol involucran componentes de retardo que no permiten a la salida seguir inmediatamente las variaciones de la entrada. Es, por tanto, frecuente una respuesta transitoria con oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado de equilibrio. Una vez llegado al estado estacionario, si la salida no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error estacionario. Este errorindica la exactitud del sistema.
La forma más directa de encontrar la respuesta de un sistema a una señal dada es resolver la ecuación diferencial que expresa el comportamiento dinámico del sistema:

La solución general de esta ecuación tiene dos partes: una es la solución a la ecuación homogénea (que es la respuesta propia del sistema independientemente de la entrada), la otra parte es unasolución particular correspondiente a las condiciones iniciales (yp(t) dependiente de la entrada).

Esta solución general depende de la naturaleza del sistema, así como de las condiciones iniciales, pero es independiente de la señal de entrada.
Tomando transformadas de Laplace, llegamos a la siguiente expresión polinómica:

P(s) es un polinomio debido a las condiciones iniciales del sistema.

Lafunción G(s) es la función de transferencia del sistema. La ecuación característica se obtiene igualando a cero el denominador de la función de transferencia (D(s)). La respuesta temporal se obtiene tomando antitransformadas de la ecuación anterior:

De aquí podemos observar que existe una respuesta debida a la entrada, pero que también existe otra respuesta que es independiente de la entrada ydebida a las características propias del sistema:

Respuesta debida a la entrada:
Respuesta complementaria del sistema:
 
2.- Respuesta transitoria
2.1.- Definición de las entradas normalizadas
Aunque ya las definimos en su momento, veámoslas de nuevo:
1.- Impulso unitario:
 u(t)=1 para t=0; suponiendo condiciones iniciales nulas.
La transformada de Laplace para la función impulso...