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CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Deffiiniiciión 1..-- Una función es un conjunto de pares ordenados
De n c ón 1

𝑥; 𝑦 tal que dos

pares ordenados diferentes no tienen la misma primera componente.
Nottaciión..-No ac ón
𝑓=

𝑥; 𝑦 / 𝑥1 ; 𝑦1 ≠ 𝑥2 ; 𝑦2 ⟹ 𝑥1 ≠ 𝑥2 ,
𝒇: ℝ ⟼ ℝ
𝒙 ⟼ 𝒇 𝒙 = 𝒚,

Donde:

𝑥, sellamavariableindependiente
𝑦,sellamavariabledependiente.

Domiiniio de lla ffunciión..-Dom n o de a unc ón
𝒟𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 𝑥 es la primera componente de𝑓 ⊆ ℝ.
Rango de lla ffunciión..-Rango de a unc ón
ℛ𝑎𝑛 𝑓 = 𝑦 𝑦 es la segunda componente de𝑓 ⊆ ℝ.

CALCULO diferencial

Ejjempllo 1..-- Sea 𝑓 =
E emp o 1

Prof. Lucy Salazar Rojas

𝑥; 𝑦 ∕ 𝑦 = 1 − 𝑥 2 . Hallar el dominio y rango de 𝑓.

Soll::
So
-Hallando el dominiode 𝑓:
𝑦=

1 − 𝑥2 ⟹ 1 − 𝑥2 ≥ 0 ⟹ 𝑥2 − 1 ≤ 0 ⟹ 𝑥 − 1
= −1; 1 .

∴ 𝓓𝒐𝒎 𝒇 = −𝟏; 𝟏 .

-Hallando el rango de 𝑓: despejar 𝑥 en función de 𝑦.

𝑥 + 1 ≤ 0 ⟹ P. C

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Como 𝑦 = 1 − 𝑥 2 ⟹ 𝑦 ≥ 0 . Entonces:
𝑦2 = 1 − 𝑥2 ⟹ 𝑥2 = 1 − 𝑦2 ⟹ 𝑥 =
⟹ 𝑦−1

1 − 𝑦2 ⟹ 1 − 𝑦2 ≥ 0 ⟹ 𝑦2 − 1 ≤ 0

𝑦 + 1 ≤ 0 ⟹ P. C = −1; 1 . Pero con la restricción se tiene:
𝓡𝒂𝒏 𝒇= 𝟎; 𝟏 .

Ejjempllo 2..-- Hallar el dominio y rango de la función:
E emp o 2
𝑓 𝑥 =

1
𝑥

Soll::
So
𝑦=

1
⟹ 𝒟𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 0 = −∞; 0 ∪ 0; +∞ .
𝑥

𝑥=

1
⟹ ℛ𝑎𝑛 𝑓 = ℝ − 0 = −∞; 0 ∪ 0; +∞ .
𝑦

Ejjempllo 3..-- Hallar el dominio y rango de la función: 𝑦 = 4 − 𝑥.
E emp o 3
Soll::
So
𝑦 = 4 − 𝑥 ⟹ 4 − 𝑥 ≥ 0 ⟹ 𝑥 − 4 ≤ 0 ⟹ 𝑥 ≤ 4 ⟹ 𝒟𝑜𝑚 𝑓 = −∞; 4 .
Como 𝑦 = 4 − 𝑥 ⟹ 𝑦 ≥ 0 . Despejando 𝑥:𝑦 2 = 4 − 𝑥 ⟹ 𝑥 = 4 − 𝑦 2 ⟹ 𝑦 ∈ ℝ.
Pero con la restricción:
𝓡𝒂𝒏 𝒇 = 𝟎; +∞ .

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Gráfiica de una funciión..Gráf ca de una func ón Deffiiniiciión 2..--Sea 𝑓: ℝ ⟼ ℝ una función. La gráfica de 𝑓 está definida y
De n c ón 2
denotada por:
𝑮𝒓𝒂 𝒇 =

𝒙; 𝒚 ∈ ℝ 𝟐 ∕ 𝒚 = 𝒇 𝒙 .

Observaciión 1..-- Una recta vertical intersecta a la gráfica de unafunción, sólo en
Observac ón 1
un punto.
Ejjempllo 4..-- Hallar el dominio y rango de la función definida a trozos:
E emp o 4
𝒙 − 𝟏,
𝒇 𝒙 = 𝟓,
𝟐𝒙 + 𝟏,
Soll::
So

𝒟𝑜𝑚 𝑓 = ℝ = −∞; +∞ .

𝐬𝐢 𝒙 < 3
𝐬𝐢 𝒙 = 𝟑
𝐬𝐢 𝒙 > 3

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

ℛ𝑎𝑛 𝑓 = −∞; 2 ∪ 5 ∪ 7; +∞ .
Operaciiones con ffunciiones..-- Sean 𝑓, 𝑔 funciones:
Operac ones con unc onesDeffiiniiciión 3..--La suma denotada por 𝑓 + 𝑔 es la función definida por
De n c ón 3
𝑓+ 𝑔

𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ,

𝒟𝑜𝑚

𝑓+𝑔

= 𝒟 𝑓 ∩ 𝒟 𝑔 .

Deffiiniiciión 4..-- La diferencia denotada por 𝑓 − 𝑔 es la función definida por
De n c ón 4
𝑓− 𝑔

𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ,

𝒟𝑜𝑚

𝑓−𝑔

= 𝒟 𝑓 ∩ 𝒟 𝑔 .

Deffiiniiciión 5..--El producto denotado por 𝑓. 𝑔 es la función definida por
De n c ón 5
𝑓. 𝑔

𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ,𝒟𝑜𝑚

𝑓.𝑔

= 𝒟 𝑓 ∩ 𝒟 𝑔 .

Deffiiniiciión 6..--El cociente denotado por 𝑓 ∕ 𝑔 es la función definida por
De n c ón 6
𝑓
𝑔

𝑥 =

𝑓 𝑥
,
𝑔 𝑥

𝒟𝑜𝑚

𝑓∕𝑔

= 𝒟𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝒟𝑜𝑚 𝑔 ,

Ejjempllo 5..-- Sean las funciones 𝑓 𝑥 =
E emp o 5
𝑓 + 𝑔,

𝑓 − 𝑔,

𝑥 + 1, 𝑔 𝑥 =
𝑓. 𝑔,

𝑥 − 4. Hallar:

𝑓 𝑔,

𝑔 𝑓.

Soll:: Hallando los dominios de 𝑓 ∧ 𝑔:
So
𝒟𝑜𝑚 𝑓 : 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ −1 ⟹ 𝒟𝑜𝑚 𝑓= −1; +∞ .
𝒟𝑜𝑚 𝑔 : 𝑥 − 4 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 4 ⟹ 𝒟𝑜𝑚 𝑔 = 4; +∞ .
Entonces: 𝒟𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝒟𝑜𝑚 𝑔 = 4; +∞ .
𝑓+ 𝑔

𝑥 =

𝑥+1+

𝑥 − 4,

𝒟𝑜𝑚

𝑓+𝑔

𝑔 𝑥 ≠ 0.

= 4; +∞ .

CALCULO diferencial
𝑓− 𝑔
𝑓. 𝑔

𝑥 =
𝑥 =

𝑓
𝑔

𝑥 =

𝑔
𝑓

𝑥 =

𝑥+1−
𝑥+1

𝑥+1
𝑥−4
𝑥−4
𝑥+1

Prof. Lucy Salazar Rojas

𝑥 − 4,

𝒟𝑜𝑚

𝑥−4 ,

𝒟𝑜𝑚

,

𝑥 ≠ 4,

,

𝑥 ≠ −1,

𝒟𝑜𝑚

𝑓−𝑔

𝒟𝑜𝑚

= 4; +∞ .𝑓.𝑔

𝑓 𝑔

= 4; +∞ .

= 4; +∞ .

𝑔 𝑓

= 4; +∞ .

Funciión Compuesta..
Func ón Compuesta
Deffiiniiciión 7..-- Sean 𝑓 ∧ 𝑔 funciones, la función compuesta, denotada por
De n c ón 7
𝑓 ∘ 𝑔 está definida por:
𝒟𝑜𝑚

𝑓∘ 𝑔
𝑓∘𝑔

𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .

= 𝑥 ∈ 𝒟𝑜𝑚 𝑔 ∕ 𝑔 𝑥 ∈ 𝒟𝑜𝑚 𝑓 .

CALCULO diferencial
Ejjempllo 6..-- Sean 𝑓 𝑥 =
E emp o 6
𝑓∘ 𝑔

𝑥, 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1. Hallar:

𝑥 ,

𝑔∘ 𝑓...