Control

Unidad 2.- Análisis de Estabilidad
De acuerdo a los análisis presentados anteriormente es suficiente con determinar la localización de los polos o de las raíces del sistema en lazo cerrado. En la actualidad la determinación
De los valores de las raíces es bastante sencillo debido a la gran cantidad de métodos numéricos
Disponibles en computadoras y calculadores. Sin embargo, tiempo atrás estoera más complicado por lo que se recurría al uso de resultados algebraicos y métodos semigráficos que permiten determinar la localización de los polos del sistema sin necesidad de encontrar sus valores.
2.1 Criterio de Routh-Hurwitz
El método de Routh-Hurwitz está formado por dos componentes: El criterio de Hurwitz y la tabulación de Routh.
El criterio de Hurwitz establece que dado un polinomiode coeficientes reales como el que se presenta a continuación,

Para que P(s) no tenga raíces con partes reales positivas es necesario que se cumplan las siguientes dos condiciones:
1. Todos los coeficientes tengan el mismo signo
2. Ninguno de los coeficientes sea igual a cero
Si las dos condiciones anteriores se cumplen no necesariamente las raices estarán en el semiplano izquierdo. Es decir siuna de las dos condiciones anteriores no se cumple, entonces necesariamente existirán raíces en el semiplano derecho, pero si se cumplen puede como no puede que existan raíces en el semiplano derecho.
La condición de suficiencia se la obtiene utilizando la tabulación de Routh, que establece que:
1. Para que no existan raíces en el semiplano derecho todos los coeficientes de la primera columna dela tabulación de Routh deben ser del mismo signo.
2. El número de cambios de signo en los elementos de la primera columna es igual al número de raíces con partes reales positivas.
La tabulación de Routh se la hace de la siguiente manera para, por ejemplo, un polinomio de sexto orden como el siguiente:

El primer paso para realizar la tabulación es el de colocar en un primera columna losexponentes del polinomio. Las dos primeras filas de la tabulación están constituidas por los coeficientes del polinomio saltando uno, como se muestra a continuación. Los siguientes coeficientes de la tabla se calculan de acuerdo a como se muestra en la misma tabla.

Ejm. Realizar el análisis de la localización de las raíces de los siguientes polinomios:

Como existe un coeficiente con signo distinto alos demás se sabe que existirá al menos una raíz en el semiplano derecho, por lo que el sistema es inestable. Se procede entonces a la tabulació de Routh,

Como se ve existen 2 cambios de signo, por lo que hay dos raíces en el semiplano derecho.

Todos los coeficientes tienen el mismo signo, por lo que es necesario realizar la tabulación de Routh.

Se observan dos cambios de signo en la primeracolumna, por lo que hay dos raíces en el semiplano derecho.

Si K>0 entonces se cumplen las condiciones necesarias, pero es necesario realizar la tabulación para ver que rangos debe tener K.

En la tercera fila se ha reemplazado el valor de 0 por un valor muy pequeño ε para evitar divisiones para cero. El resultado como se ve es que para cualquier valor K>0 existe una raíz en elsemiplano derecho, por lo que el sistema es inestable.

Todos los coeficientes tienen el mismo signo, por lo que es necesario realizar la tabulación de Routh.

Existen 2 cambios de signo, por lo que el sistema es inestable.
2.2 Método de lugar geométrico de las raíces

En este método  se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. La ideabásica detrás del método de lugar de las raíces es que los valores de s que hacen de la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben de satisfacer la ecuación característica del sistema. Es la representación grafica de los polos en lazo cerrado cuando varia un parámetro de un sistema. También se define como un método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta...