Control

8.1 DEFINICIÓN DE LUGAR DE LAS RAÍCES


Sea un sistema de control digital cuyas funciones de transferencia en lazo abierto y en lazo cerrado son
[pic] ; [pic]

La ecuación característica del sistema en lazo cerrado será

[pic] ; [pic]

Obsérvese que, si se mantienen fijas las posiciones de los ceros y polos de la función de transferencia en lazo abierto, las posiciones de los polos dela función de transferencia en lazo cerrado ocuparán distintas posiciones haciendo variar a K desde (0 a +[pic] ).
El lugar geométrico de los polos de la función de transferencia del sistema en lazo cerrado, al hacer variar al parámetro K desde (0 a +[pic]) se denomina "lugar de las raíces".
Si se hace variar al parámetro K desde (-[pic] a 0) el lugar geométrico de los polos de la función detransferencia del sistema en lazo cerrado, se denomina lugar inverso de las raíces.
El lugar de las raíces permite realizar un estudio completo, de los sistemas de control digital, en régimen transitorio.
El lugar de las raíces es muy empleado en el diseño de los sistemas de control digital, puesto que apoyándose en él se pueden dimensionar controladores digitales, que hagan cumplir al sistema lasespecificaciones impuestas por el usuario del mismo.


8.2 CRITERIO DEL MÓDULO Y DEL ARGUMENTO

El criterio del módulo permite graduar, en función de K, el lugar de las raíces.
Si deseamos saber el valor de K para un punto del lugar de las raíces, denominado punto de prueba, de coordenadas [pic], al pertenecer al lugar de las raíces debe cumplir la ecuación
[pic]
Ahora bien, como
[pic]al igualar módulos, resulta que
[pic]

El criterio del argumento se emplea para trazar el lugar de las raíces. El criterio del argumento es independiente del valor de K.
Igualando argumentos, en la ecuación anterior, resulta que

[pic]


8.3 TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES

Evans estableció once reglas, derivadas de los criterios del módulo y del argumento, que permiten trazar de unamanera sistemática, el lugar de las rafees.
Estas reglas son: 1) Simetrías. 2) Número de ramas. 3) Puntos de partida de las ramas. 4) Puntos de llegada. 5) Asíntotas. 6) Ramas sobre el eje real. 7) Puntos de separación o de confluencia. 8) Puntos de intersección con el círculo de radio unidad. 9) Ángulos de salida. 10) Ángulos de llegada. 11) Determinación de la ganancia K.
Es de destacar quesolamente se aplicarán aquellas reglas que sean necesarias para la construcción del lugar de las raíces.

Regla 1. Escriba la ecuación característica como:
[pic]

Regla 2. Factorice Q(s)/P(s) y escriba el polinomio en la forma de ceros y polos.

[pic]

Regla 3. Puntos de partida y Puntos de llegada.
Los puntos de partida, K = 0, son los polos de [pic].
[pic]

Los puntos de llegada, K =[pic], son los ceros de [pic] y las "n - m" direcciones asintóticas.
[pic]

Regla 4. Ramas sobre el eje real.
Un punto cualquiera del eje real pertenecerá a una rama independiente del lugar de las raíces, si la suma de ceros y polos situados a la derecha de ese punto es un número impar.

[pic]

Regla 5. Número de ramas.
El número de ramas es igual a los polos de la función de transferenciaen lazo abierto [pic].
Esto nos ayudará a saber si la gráfica se ha realizado correctamente.



Regla 6. Simetrías.
El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real.




Regla 7. Asíntotas.
El lugar de las raíces tiene (n - m) asíntotas.
Las asíntotas forman con el eje real el ángulo
[pic]

El centroide o punto de intersección de las asíntotas con el eje real viene dado por[pic]



Regla 8. Intersección con el círculo de radio unidad.
Se obtiene por aplicación del criterio de Routh, una vez aplicada la transformación bilineal
[pic] ó [pic]
NOTA: Se escoje la ecuación característica en lazo cerrado. 000


Regla 9. Puntos de bifurcación o separación y de confluencia.
Los puntos de separación o bifurcación y de confluencia se determinan a partir...