control

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
1. Relación entre Plano S y Plano Z
Al muestrear una señal X(s) limitada en banda, el espectro de frecuencia se repite cada ws
(ws > 2wc) y wc es la máxima componente de frecuencia de la señal.
X(jw)
1/T

-3ws
2

-ws

-ws
2

-w1

0

w1

ws
2

ws-w1

ws

ws+w1

3ws
2

2ws

Franja PrimariaUtilizando serie de Fourier sabemos: 

Si  se  cumple  el  Teorema  de  Muestreo  todas  las  componentes  de  frecuencia  de  X(s)  están 
ubicadas en la franja primaria.

Prof. Raquel Frías

Control Digital

1

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
1. Relación entre Plano S y Plano Z
En el plano s estas franjas quedarían de la siguiente manera:
jw
3jws

Plano s

2
jws
jws
2

Franja Primaria-jws
2
-jws
-3jws
2

Para  la  franja  primaria  k=0  ∴ z  =  eTσ ejwT en  forma  polar  z  =  |eTσ| ∠wT, se procede a

transformar la franja primaria al plano z por sectores.

Prof. Raquel Frías

Control Digital

2

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
1. Relación entre Plano S y Plano Z
Z=|eTσ| ∠wT

Trayectorias en la franja primaria

T=2π
ws

1

jw

23

2

w: 0

w : ws

jws
2

2

5
-jws
2

Im z

σ:0
3

2

-1

3

5

4

|eTσ| = 1

4

1

1

5

Re z

σ : -∞
5

1

w :- ws
2
Prof. Raquel Frías

|eTσ| = 1

w : ws

∠:π

2
σ : -∞

|eTσ| = 1

0

w :- ws

∠:π

∠ : -π

4

w : ws

2

σ:0
3

σ
4

2π = π
ws

2

2

1

-∞

ws

∠ : 0°

2
σ : -∞

|eTσ| = 0w :- ws

∠ : -π

2
σ:0

|eTσ| = 0

σ:0

|eTσ| = 1

w: 0

∠ : -π

1

∠ : 0°
Control Digital

3

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
1. Relación entre Plano S y Plano Z
Observaciones

9 La localización de los polos y ceros de la función de transferencia de pulso
de lazo cerrado en el plano Z depende Ts.
9 En el SPI de s σ < 1 ⇒ z = |eTσ| < 1.
9 El ejeimaginario de s corresponde al circulo unitario en Z.
9 El interior del circulo unitario en Z corresponde al SPI en s.
9 El exterior del circulo unitario en Z corresponde al SPD en s.

Prof. Raquel Frías

Control Digital

4

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
2. Relación entre los Polos del Plano Z y los Polos del Plano S
Si tenemos un sistema de 2° ordencontinuo de la forma:

)

Son las raíces de la E.C. de este sistema

Donde

Podemos encontrar los polos equivalentes continuos en el plano Z
S = -ζωn+jωd

ωd =

⇒

⇒

Prof. Raquel Frías

Control Digital

5

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
3. La Ecuación Característica y Polos de Lazo Cerrado
R(s)

E*(s)

E(s)

+
_

Y(s)

G(s)
T

T

Y(z)

H(s)Ecuación Característica es:

Usando expansión en fracciones parciales

Polos Originados en R(z)
Raices de la Ecuación Característica del 
sistema, si no tiene FTP
Prof. Raquel Frías

Control Digital

6

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
4. Ganancia dc de la Planta
La ganancia dc de la planta de lazo abierto se define con todos los polos en Z = 1 eliminados:Para un Sistema estable con una entrada constante la salida se aproxima a un valor constante 
Kdc

Prof. Raquel Frías

Control Digital

7

Respuesta Temporal de Sistemas de Control
5. Respuesta Temporal de Sistemas Discretos
c(t)

3.

Cmax
1

0,5 o 0,02

Mp

Tiempo  de  subida,  (tr):  Tiempo  requerido  para 
que la respuesta crezca del 10% al 90% o del 0% 
al 100% de su valor final.
π - Cos -1ς
tr=
ωd

=

π - Cos -1ς
w n 1- ς 2

(0% al 100%)

0,5

4.

td

tr tp

ts

1. Máximo  Sobreimpulso,  (Mp):  Se  define  como  la 
diferencia entre el valor máximo y el valor final de 
la salida del sistema.
Cmax - Css
Mp(%) =
. 100%
Css
- ςπ ⎤
⎥. 100%
1 - ς 2 ⎥⎦

Mp = Cmax - Css
⎡
Mp(%) = exp ⎢
⎢⎣

Tiempo de retardo, (td): Tiempo requerido para ...